Exercice 18

Dessine un quadrilatère \(PQRS\) inscrit dans un cercle \(k\).
Trace ses deux diagonales \(PR\) et \(QS\).
Dans la figure ainsi formée, quelles sont les paires d’angles isométriques ?

Réponse

Dans un quadrilatère inscrit, on a :

– ∠QPS = ∠QRS (arc QS) et ∠PQR = ∠PSR (arc PR)
– ∠POQ = ∠ROS et ∠QOR = ∠SOP (angles verticaux)

Corrigé détaillé

On vous demande de considérer un quadrilatère PQRS dont tous les sommets se trouvent sur un cercle k et d’y tracer les deux diagonales PR et QS. Dans la figure obtenue, nous allons identifier deux types de paires d’angles égaux (isométriques) :

────────────────────────────── 1) Les angles inscrits qui interceptent le même arc

Rappelons que dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc de cercle sont égaux.

• Considérons tout d’abord l’arc QS.
 – L’angle QPS, situé en P dans le triangle PQS, intercepte l’arc QS.
 – De même, l’angle QRS, situé en R dans le triangle QRS, intercepte également l’arc QS.
Donc, d’après le théorème des angles inscrits, on a :
  ∠QPS = ∠QRS

• De façon analogue, prenons l’arc PR.
 – L’angle PQR, situé en Q dans le triangle PQR, intercepte l’arc PR.
 – L’angle PSR, situé en S dans le triangle PSR, intercepte aussi l’arc PR.
Ainsi, on déduit que :
  ∠PQR = ∠PSR

────────────────────────────── 2) Les angles verticaux formés par l’intersection des diagonales

Lorsque deux droites se coupent, les angles opposés par le sommet (ou verticaux) sont égaux.

Les deux diagonales PR et QS se coupent en un point, appelons-le O. Elles forment alors quatre angles autour de O. Les paires d’angles verticaux sont :   – ∠POQ et ∠ROS
  – ∠QOR et ∠SOP
Ce qui nous donne également :
  ∠POQ = ∠ROS
  ∠QOR = ∠SOP

────────────────────────────── Récapitulatif :

Les paires d’angles isométriques identifiées dans la figure sont :

1. Par le principe des angles inscrits interceptant le même arc :
     • ∠QPS = ∠QRS (car ils interceptent l’arc QS)
     • ∠PQR = ∠PSR (car ils interceptent l’arc PR)

2. Par le fait que les angles verticaux sont égaux :
     • ∠POQ = ∠ROS
     • ∠QOR = ∠SOP

────────────────────────────── Conclusion :

Dans la figure obtenue en traçant le quadrilatère PQRS inscrit dans un cercle et ses deux diagonales, il existe donc deux types de paires d’angles isométriques :

1. Les angles inscrits liés aux mêmes arcs (∠QPS = ∠QRS et ∠PQR = ∠PSR).
2. Les angles opposés par le sommet formés par l’intersection des diagonales (∠POQ = ∠ROS et ∠QOR = ∠SOP).

Cette démonstration repose sur le théorème des angles inscrits d’un côté et sur la propriété des angles opposés par le sommet de l’autre.