Exercice 15

Le périmètre d’un losange est de 27 cm et son aire de \(43{,}76\,\mathrm{cm}^{2}\). Une de ses diagonales mesure 10,8 cm. Calculer la longueur de l’autre diagonale.

Réponse

La deuxième diagonale mesure environ 8,1 cm.

Corrigé détaillé

Nous avons un losange dont le périmètre est de 27 cm et l’aire de 43,76 cm². De plus, l’une des diagonales (d₁) mesure 10,8 cm. Pour trouver l’autre diagonale (d₂), nous pouvons suivre ces étapes :

  1. Déterminer la longueur d’un côté :

  Le losange a 4 côtés égaux et son périmètre est la somme de ces côtés. On a donc :     côté = périmètre ÷ 4 = 27 ÷ 4 = 6,75 cm

  1. Utiliser la formule de l’aire d’un losange :

  L’aire (A) d’un losange s’obtient avec la formule :     A = (d₁ × d₂) ÷ 2   Nous connaissons A et d₁, nous pouvons donc isoler d₂ :     d₂ = (2 × A) ÷ d₁

  Calculons :     d₂ = (2 × 43,76) ÷ 10,8       = 87,52 ÷ 10,8

  En effectuant la division, on trouve :     d₂ ≈ 8,1 cm

  1. Vérification par la relation dans un losange :

  Dans un losange, les diagonales se coupent perpendiculairement et se coupent en leur milieu. Ainsi, en considérant l’un des triangles rectangles formés :     (côté)² = (d₁/2)² + (d₂/2)²

  Calculons les demi-diagonales :     d₁/2 = 10,8 ÷ 2 = 5,4 cm     d₂/2 = 8,1 ÷ 2 = 4,05 cm

  Vérifions avec le théorème de Pythagore :     (5,4)² + (4,05)² ≈ 29,16 + 16,4025 = 45,5625

  La racine carrée de 45,5625 est 6,75 cm, ce qui correspond bien à la longueur du côté trouvée précédemment.

Conclusion :   La longueur de l’autre diagonale du losange est donc d’environ 8,1 cm.

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