Un côté d’un parallélogramme mesure 28 cm, la hauteur correspondante est de 24 cm et la petite diagonale mesure 26 cm. Calculez le périmètre de ce parallélogramme ainsi que la longueur de sa grande diagonale.
Le côté inconnu mesure 30 cm, le périmètre est 116 cm et la grande diagonale vaut 2√673 cm (environ 51,88 cm).
On vous donne un parallélogramme dont un côté mesure 28 cm, la hauteur correspondante à ce côté est de 24 cm et la plus petite des deux diagonales mesure 26 cm. Nous allons déterminer d’abord la longueur de l’autre côté du parallélogramme, puis en déduire son périmètre et enfin calculer la grande diagonale.
────────────────────────────── 1 – Détermination de l’autre côté
Soit a = 28 cm (le côté connu) et b = la longueur de l’autre côté cherchée. La hauteur associée au côté de longueur 28 cm est h = 24 cm. Dans un parallélogramme, cette hauteur est reliée à b par la relation : b × sinθ = 24 (1) où θ est l’angle entre les côtés a et b.
On dispose également de la mesure de la petite diagonale. Dans un parallélogramme dont les côtés sont a et b et l’angle entre eux θ (en tenant compte que l’angle aigu est à considérer), les diagonales se trouvent à partir des formules suivantes : d₁² = a² + b² + 2ab cosθ (grande diagonale) d₂² = a² + b² – 2ab cosθ (petite diagonale)
Ici, d₂ = 26 cm (la plus petite diagonale). Ainsi, 28² + b² – 2·28·b cosθ = 26². Calculons les carrés : 784 + b² – 56b cosθ = 676. Isolons le terme contenant cosθ : 56b cosθ = 784 + b² – 676 = b² + 108. D’où, cosθ = (b² + 108) / (56b). (2)
────────────────────────────── 2 – Utilisation de l’identité trigonométrique
Nous connaissons sinθ et cosθ en fonction de b. L’identité sin²θ + cos²θ = 1 nous permet d’écrire : (24/b)² + [(b² + 108)/(56b)]² = 1. Développons pas à pas :
(24/b)² = 576 / b².
[(b² + 108)/(56b)]² = (b² + 108)² / (56² · b²) = (b² + 108)² / (3136·b²).
L’équation devient : 576/b² + (b² + 108)²/(3136·b²) = 1. Multiplions ensuite toute l’équation par 3136·b² pour se débarrasser des dénominateurs : 576 × 3136 + (b² + 108)² = 3136·b².
Calculons 576 × 3136 : 576 × 3000 = 1 728 000 576 × 136 = 78 336 1 728 000 + 78 336 = 1 806 336
L’équation s’écrit alors : (b² + 108)² + 1 806 336 = 3136·b².
Développons (b² + 108)² : (b² + 108)² = b⁴ + 2 × 108·b² + 108² = b⁴ + 216b² + 11 664 (puisque 108² = 11 664).
Notre équation devient : b⁴ + 216b² + 11 664 + 1 806 336 = 3136·b² b⁴ + 216b² + 1 818 000 = 3136·b² (11 664 + 1 806 336 = 1 818 000).
Isolons tous les termes d’un côté : b⁴ + 216b² – 3136·b² + 1 818 000 = 0 b⁴ – 2920b² + 1 818 000 = 0.
Posons X = b², alors l’équation devient : X² – 2920X + 1 818 000 = 0.
Pour résoudre cette équation du second degré, calculons le discriminant Δ : Δ = 2920² – 4 × 1 × 1 818 000. Calculons 2920² : 2920² = (3000 – 80)² = 3000² – 2×3000×80 + 80² = 9 000 000 – 480 000 + 6 400 = 8 526 400. Ensuite, 4 × 1 818 000 = 7 272 000. Alors, Δ = 8 526 400 – 7 272 000 = 1 254 400. La racine carrée de Δ est : √(1 254 400) = 1120 (car 1120² = 1 254 400).
Les solutions pour X sont : X = (2920 ± 1120) / 2. Première solution : X₁ = (2920 + 1120) / 2 = 4040/2 = 2020. Deuxième solution : X₂ = (2920 – 1120) / 2 = 1800/2 = 900.
Rappelons que X = b², donc : Soit b² = 2020, soit b² = 900.
Examinons sinθ = 24/b. Pour que sinθ ≤ 1, il faut b ≥ 24. Or, b = √900 = 30 cm convient très bien et donne une valeur exacte pour sinθ (24/30 = 0,8). La solution b = √2020 ≈ 44,94 cm conduirait aussi à une valeur de sinθ acceptable, mais vérifions la longueur de la petite diagonale dans chacun des cas.
Vérifions avec b = 30 cm : Nous avions la formule pour la petite diagonale : d₂² = a² + b² – 2ab cosθ. Pour b = 30, déterminons cosθ grâce à (2) : cosθ = (b² + 108) / (56b) = (900 + 108) / (56 × 30) = 1008 / 1680 = 0,6. Alors, d₂² = 28² + 30² – 2 × 28 × 30 × 0,6 = 784 + 900 – 1008 = 676, d₂ = √676 = 26 cm, ce qui correspond exactement à l’énoncé.
On retiendra donc b = 30 cm.
────────────────────────────── 3 – Calcul du périmètre
Le périmètre P d’un parallélogramme est la somme de la longueur de ses 4 côtés, c’est-à-dire : P = 2(a + b) Ici, a = 28 cm et b = 30 cm. P = 2(28 + 30) = 2 × 58 = 116 cm.
────────────────────────────── 4 – Calcul de la grande diagonale
La grande diagonale (d₁) se calcule par la formule : d₁² = a² + b² + 2ab cosθ. Nous connaissons a = 28, b = 30 et cosθ = 0,6. Calculons : a² + b² = 28² + 30² = 784 + 900 = 1684. 2ab cosθ = 2 × 28 × 30 × 0,6 = 56 × 30 × 0,6 = (56 × 18) = 1008. Ainsi, d₁² = 1684 + 1008 = 2692. La grande diagonale vaut donc : d₁ = √2692. On peut simplifier en cherchant un facteur carré : 2692 = 4 × 673. Donc, d₁ = √(4 × 673) = 2√673. En valeur approchée, √673 ≈ 25,94, donc d₁ ≈ 2 × 25,94 ≈ 51,88 cm.
────────────────────────────── Conclusion
Le parallélogramme a pour côtés 28 cm et 30 cm.
• Le périmètre est P = 116 cm. • La longueur de la grande diagonale est exactement 2√673 cm, soit environ 51,88 cm.