Dans un parallélogramme, le côté le plus court est inférieur de 16 cm au côté le plus long. Si l’on augmente le côté le plus court de la moitié de sa mesure et que l’on réduit le côté le plus long de 4 cm, le parallélogramme devient un losange. Quelles sont les dimensions du parallélogramme ?
Le parallélogramme mesure 24 cm pour les côtés courts et 40 cm pour les côtés longs.
Correction Détaillée
Nous allons résoudre ce problème étape par étape en utilisant des équations mathématiques simples.
Énoncé du problème : Dans un parallélogramme, le côté le plus court est inférieur de 16 cm au côté le plus long. Si l’on augmente le côté le plus court de la moitié de sa mesure et que l’on réduit le côté le plus long de 4 cm, le parallélogramme devient un losange. Quelles sont les dimensions du parallélogramme ?
Étape 1 : Définir les variables - Soit \(x\) la longueur du côté le plus court du parallélogramme. - Alors, la longueur du côté le plus long est \(x + 16\) cm.
Étape 2 : Appliquer les transformations - Augmenter le côté le plus court de la moitié de sa mesure : \[ \text{Nouveau côté court} = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2} \] - Réduire le côté le plus long de 4 cm : \[ \text{Nouveau côté long} = (x + 16) - 4 = x + 12 \]
Étape 3 : Utiliser la propriété du losange Un losange est un parallélogramme dont tous les côtés sont de même longueur. Donc, après les transformations : \[ \frac{3x}{2} = x + 12 \]
Étape 4 : Résoudre l’équation 1. Multiplions chaque côté de l’équation par 2 pour éliminer le dénominateur : \[ 3x = 2(x + 12) \] 2. Développons le côté droit : \[ 3x = 2x + 24 \] 3. Soustrayons \(2x\) des deux côtés : \[ 3x - 2x = 24 \Rightarrow x = 24 \]
Étape 5 : Déterminer les dimensions du parallélogramme original - Côté le plus court : \[ x = 24 \text{ cm} \] - Côté le plus long : \[ x + 16 = 24 + 16 = 40 \text{ cm} \]
Conclusion : Le parallélogramme a pour dimensions : - Côtés courts : 24 cm - Côtés longs : 40 cm