Exercice 11

Placer dans un même système d’axes les points \(A(-4 ; 3)\), \(B(4 ; -5)\) et \(C(6 ; 3)\).

1. Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(D\) du trapèze \(ABCD\), rectangle en \(A\).
2. Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire du trapèze \(ABCD\).
3. Déterminer la pente, l’ordonnée à l’origine et l’équation de chacune des quatre droites formant ce trapèze.

Réponse

D = (1 ; 8)
Aire = 65 unités²
Droites :
 – AB : y = –x – 1
 – BC : y = 4x – 21
 – CD : y = –x + 9
 – DA : y = x + 7.

Corrigé détaillé

Nous vous proposons ici une démarche détaillée pour répondre à la question en plusieurs parties. On travaille dans un repère orthonormé (système d’axes) et les points donnés sont
  A(–4 ; 3), B(4 ; –5) et C(6 ; 3).

────────────────────────────
【1. Détermination graphique du point D pour obtenir le trapèze ABCD rectangle en A】

On souhaite obtenir un trapèze ayant pour sommets A, B, C, D (dans cet ordre) avec l’angle en A droit (c’est-à-dire que la droite AD est perpendiculaire à la droite AB) et avec un couple de côtés parallèles (les bases). Pour un trapèze, il faut que deux côtés opposés soient parallèles. Une manière classique de construire ce quadrilatère est de choisir les côtés parallèles comme étant AB et CD.

Voici les contraintes que nous allons utiliser :  • La droite AB passant par A et B est donnée.
 • Le trapèze doit être rectangle en A, donc la droite AD (qui part de A) est perpendiculaire à AB.
 • Les côtés AB et CD devant être parallèles, la droite passant par C et D doit avoir même pente que AB.

Étape 1 – Déterminer la pente de AB
À partir des coordonnées de A(–4 ; 3) et B(4 ; –5) :
 pente AB = (–5 – 3) / (4 – (–4)) = (–8) / 8 = –1.

Étape 2 – Equation de la droite passant par A ayant une pente perpendiculaire à AB
La pente d’une droite perpendiculaire à AB est le négatif de l’inverse de –1, c’est-à-dire 1.
La droite passant par A(–4 ; 3) de pente 1 a pour équation :
 y – 3 = 1 · (x – (–4)) ⟹ y – 3 = x + 4
 donc y = x + 7.
Cette droite est la droite AD (par laquelle passe le point D).

Étape 3 – Equation de la droite passant par C et parallèle à AB
Puisque AB a pour pente –1, la droite passant par C(6 ; 3) et parallèle à AB aura aussi pour pente –1.
Son équation est :
 y – 3 = –1 · (x – 6) ⟹ y – 3 = –x + 6
 donc y = –x + 9.
Cette droite est la droite complète CD (qui passe par C et par D).

Étape 4 – Détermination du point D
Le point D est l’intersection des droites AD et CD. On résout donc le système :
 (i) y = x + 7
 (ii) y = –x + 9
En égalant les deux expressions pour y :
 x + 7 = –x + 9
 ⟹ 2x = 9 – 7 = 2
 ⟹ x = 1.
Ensuite, en remplaçant dans (i) :
 y = 1 + 7 = 8.

Ainsi, le point D a pour coordonnées (1 ; 8).

────────────────────────────
【2. Calcul de l’aire du trapèze ABCD】

Pour déterminer l’aire d’un trapèze, on utilise la formule :
 Aire = (1/2) × (longueur de la base 1 + longueur de la base 2) × (hauteur).

Dans notre construction, les bases du trapèze sont les côtés parallèles AB et CD.

1- Calcul de la longueur de AB (base 1)
Avec A(–4 ; 3) et B(4 ; –5) :
 AB = √[(4 – (–4))² + (–5 – 3)²]
    = √[(8)² + (–8)²]
    = √[64 + 64] = √128 = 8√2.

2- Calcul de la longueur de CD (base 2)
Avec C(6 ; 3) et D(1 ; 8) :
 CD = √[(1 – 6)² + (8 – 3)²]
    = √[(–5)² + (5)²]
    = √[25 + 25] = √50 = 5√2.

3- Calcul de la hauteur
La hauteur d’un trapèze est la distance perpendiculaire entre les deux bases. Ici, puisque AB et CD sont parallèles (pente –1), on peut mesurer la distance entre la droite AB et le point D (ou encore entre AB et la droite CD).
Premièrement, déterminons l’équation de la droite AB. On sait déjà qu’elle a pour équation :
 y – 3 = –1·(x + 4) ⟹ y = –x – 1.
La distance d’un point (x₀,y₀) à une droite ax + by + c = 0 est donnée par :
 d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
La droite AB s’écrit sous la forme x + y + 1 = 0.
Pour le point D(1 ; 8) :
 d = |1 + 8 + 1| / √(1² + 1²) = |10| / √2 = 10/√2 = (10√2)/2 = 5√2.
On peut remarquer que cette distance correspond bien à la longueur du segment AD que nous pouvons vérifier :
 AD de A(–4 ; 3) à D(1 ; 8) = √[(1 – (–4))² + (8 – 3)²] = √[(5)² + (5)²] = √50 = 5√2.
La hauteur du trapèze est donc 5√2.

4- Calcul de l’aire
En remplaçant dans la formule :
 Aire = ½ × (AB + CD) × hauteur
    = ½ × (8√2 + 5√2) × 5√2
    = ½ × (13√2) × 5√2
    = ½ × 13 × 5 × (√2 × √2)
    = ½ × 65 × 2
    = 65.

L’aire du trapèze ABCD est donc 65 unités².

────────────────────────────
【3. Détermination de la pente, de l’ordonnée à l’origine et de l’équation des droites formant le trapèze】

Le trapèze est constitué des quatre côtés suivants : AB, BC, CD et DA.

1- Côté AB
• Points : A(–4 ; 3) et B(4 ; –5)
• Pente de AB :
  m_AB = (–5 – 3) / (4 – (–4)) = –8 / 8 = –1.
• Pour trouver l’ordonnée à l’origine, nous déterminons l’équation de la droite passant par A :
 Partant de la forme point-pente : y – 3 = –1(x + 4)
  ⟹ y – 3 = –x – 4
  ⟹ y = –x – 1.
Ainsi, l’ordonnée à l’origine est –1 et l’équation est y = –x – 1.

2- Côté BC
• Points : B(4 ; –5) et C(6 ; 3)
• Pente de BC :
  m_BC = (3 – (–5)) / (6 – 4) = 8 / 2 = 4.
• Equation passant par B(4 ; –5) :
 Utilisons la forme : y = m·x + b
  –5 = 4×4 + b ⟹ –5 = 16 + b ⟹ b = –21.
L’équation de BC est donc y = 4x – 21 et l’ordonnée à l’origine est –21.

3- Côté CD
• Points : C(6 ; 3) et D(1 ; 8)
• Pente de CD :
  m_CD = (8 – 3) / (1 – 6) = 5 / (–5) = –1.
• Equation passant par C(6 ; 3) :
  y – 3 = –1 (x – 6)
  ⟹ y – 3 = –x + 6
  ⟹ y = –x + 9.
L’ordonnée à l’origine est 9 et l’équation est y = –x + 9.

4- Côté DA
• Points : D(1 ; 8) et A(–4 ; 3)
• Pente de DA :
  m_DA = (3 – 8) / (–4 – 1) = (–5) / (–5) = 1.
• Equation passant par A(–4 ; 3) :
  y – 3 = 1 (x + 4)
  ⟹ y – 3 = x + 4
  ⟹ y = x + 7.
Ici, l’ordonnée à l’origine est 7 et l’équation est y = x + 7.

────────────────────────────
Récapitulatif des résultats :

1. Le point D a pour coordonnées (1 ; 8).

2. L’aire du trapèze ABCD est de 65 unités².

3. Pour chacune des quatre droites :

 – AB :
  Pente = –1, ordonnée à l’origine = –1, équation : y = –x – 1.

 – BC :
  Pente = 4, ordonnée à l’origine = –21, équation : y = 4x – 21.

 – CD :
  Pente = –1, ordonnée à l’origine = 9, équation : y = –x + 9.

 – DA :
  Pente = 1, ordonnée à l’origine = 7, équation : y = x + 7.

Cette démarche vous permet de construire graphiquement le trapèze, de calculer son aire et de déterminer les caractéristiques de chacune de ses droites.