Question : Tracez un quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans un cercle \(d\) de centre \(P\), tel que : \[ \widehat{EPF} = 130^{\circ}, \quad \widehat{FPG} = 90^{\circ}, \quad \widehat{GPH} = 140^{\circ}. \] Calculez les mesures des angles du quadrilatère \(EFGH\).
Les angles internes du quadrilatère \(EFGH\) ne peuvent être déterminés car les angles centraux totalisent \(360^\circ\), ce qui fait que les points \(H\) et \(E\) coïncident. Ainsi, le quadrilatère se réduit en un triangle dégénéré.
Correction détaillée : Calcul des mesures des angles du quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans un cercle
Étudions la question étape par étape pour déterminer les mesures des angles du quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans le cercle \(d\) de centre \(P\).
Nous avons un quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans un cercle de centre \(P\). Les mesures des angles au centre associés aux arcs déterminés par les points consécutifs sont données : \[ \widehat{EPF} = 130^{\circ}, \quad \widehat{FPG} = 90^{\circ}, \quad \widehat{GPH} = 140^{\circ}. \] Notre objectif est de calculer les mesures des angles internes du quadrilatère \(EFGH\).
Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit (c’est-à-dire un angle dont le sommet est sur la circonférence du cercle) est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte. En revanche, les angles au centre (comme ceux donnés dans le problème) correspondent directement aux mesures des arcs.
Ainsi, les angles au centre \(\widehat{EPF}\), \(\widehat{FPG}\), et \(\widehat{GPH}\) déterminent les arcs suivants : \[ \text{Arc } EF = 130^{\circ}, \quad \text{Arc } FG = 90^{\circ}, \quad \text{Arc } GH = 140^{\circ}. \]
La somme des mesures des arcs autour d’un cercle est égale à \(360^{\circ}\). Ainsi, pour trouver la mesure de l’arc \(HE\), nous effectuons le calcul suivant : \[ \text{Arc } HE = 360^{\circ} - (\text{Arc } EF + \text{Arc } FG + \text{Arc } GH) = 360^{\circ} - (130^{\circ} + 90^{\circ} + 140^{\circ}) = 360^{\circ} - 360^{\circ} = 0^{\circ}. \]
La mesure de l’arc \(HE\) est \(0^{\circ}\), ce qui signifie que les points \(H\) et \(E\) coïncident. Par conséquent, le quadrilatère \(EFGH\) se réduit en un triangle \(EFG\).
Puisque le quadrilatère se réduit à un triangle, nous calculerons les angles internes de ce triangle.
Angle en \(E\) : Cet angle inscrit intercepte l’arc \(FG\) de \(90^{\circ}\). \[ \angle E = \frac{1}{2} \times \text{Arc } FG = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}. \]
Angle en \(F\) : Cet angle inscrit intercepte l’arc \(GH\) de \(140^{\circ}\). \[ \angle F = \frac{1}{2} \times \text{Arc } GH = \frac{1}{2} \times 140^{\circ} = 70^{\circ}. \]
Angle en \(G\) : Cet angle inscrit intercepte l’arc \(HE\) de \(0^{\circ}\). \[ \angle G = \frac{1}{2} \times \text{Arc } HE = \frac{1}{2} \times 0^{\circ} = 0^{\circ}. \] Cependant, un angle de \(0^{\circ}\) n’est pas possible dans un triangle, ce qui confirme que les points \(H\) et \(E\) sont confondus, et que le quadrilatère original ne peut exister tel que défini.
Les mesures des angles internes du quadrilatère \(EFGH\) ne peuvent être déterminées car, selon les données fournies, ce quadrilatère se réduit en un triangle dégénéré. Il y a une incohérence dans les mesures des angles au centre, car leurs sommes atteignent \(360^{\circ}\), laissant l’arc \(HE\) avec une mesure de \(0^{\circ}\), ce qui n’est pas possible pour un quadrilatère valide.
Il est donc nécessaire de vérifier les mesures des angles au centre ou de préciser davantage la configuration géométrique pour résoudre correctement le problème.