Exercice 9

Question : Tracez un quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans un cercle \(d\) de centre \(P\), tel que : \[ \widehat{EPF} = 130^{\circ}, \quad \widehat{FPG} = 90^{\circ}, \quad \widehat{GPH} = 140^{\circ}. \] Calculez les mesures des angles du quadrilatère \(EFGH\).

Réponse

Les angles internes du quadrilatère \(EFGH\) ne peuvent être déterminés car les angles centraux totalisent \(360^\circ\), ce qui fait que les points \(H\) et \(E\) coïncident. Ainsi, le quadrilatère se réduit en un triangle dégénéré.

Corrigé détaillé

Correction détaillée : Calcul des mesures des angles du quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans un cercle

Étudions la question étape par étape pour déterminer les mesures des angles du quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans le cercle \(d\) de centre \(P\).

1. Compréhension du problème

Nous avons un quadrilatère \(EFGH\) inscrit dans un cercle de centre \(P\). Les mesures des angles au centre associés aux arcs déterminés par les points consécutifs sont données : \[ \widehat{EPF} = 130^{\circ}, \quad \widehat{FPG} = 90^{\circ}, \quad \widehat{GPH} = 140^{\circ}. \] Notre objectif est de calculer les mesures des angles internes du quadrilatère \(EFGH\).

2. Relation entre les angles centraux et les arcs

Dans un cercle, la mesure d’un angle inscrit (c’est-à-dire un angle dont le sommet est sur la circonférence du cercle) est égale à la moitié de la mesure de l’arc qu’il intercepte. En revanche, les angles au centre (comme ceux donnés dans le problème) correspondent directement aux mesures des arcs.

Ainsi, les angles au centre \(\widehat{EPF}\), \(\widehat{FPG}\), et \(\widehat{GPH}\) déterminent les arcs suivants : \[ \text{Arc } EF = 130^{\circ}, \quad \text{Arc } FG = 90^{\circ}, \quad \text{Arc } GH = 140^{\circ}. \]

3. Calcul de la mesure de l’arc \(HE\)

La somme des mesures des arcs autour d’un cercle est égale à \(360^{\circ}\). Ainsi, pour trouver la mesure de l’arc \(HE\), nous effectuons le calcul suivant : \[ \text{Arc } HE = 360^{\circ} - (\text{Arc } EF + \text{Arc } FG + \text{Arc } GH) = 360^{\circ} - (130^{\circ} + 90^{\circ} + 140^{\circ}) = 360^{\circ} - 360^{\circ} = 0^{\circ}. \]

4. Interprétation du résultat

La mesure de l’arc \(HE\) est \(0^{\circ}\), ce qui signifie que les points \(H\) et \(E\) coïncident. Par conséquent, le quadrilatère \(EFGH\) se réduit en un triangle \(EFG\).

5. Calcul des angles internes du triangle \(EFG\)

Puisque le quadrilatère se réduit à un triangle, nous calculerons les angles internes de ce triangle.

6. Conclusion

Les mesures des angles internes du quadrilatère \(EFGH\) ne peuvent être déterminées car, selon les données fournies, ce quadrilatère se réduit en un triangle dégénéré. Il y a une incohérence dans les mesures des angles au centre, car leurs sommes atteignent \(360^{\circ}\), laissant l’arc \(HE\) avec une mesure de \(0^{\circ}\), ce qui n’est pas possible pour un quadrilatère valide.

Il est donc nécessaire de vérifier les mesures des angles au centre ou de préciser davantage la configuration géométrique pour résoudre correctement le problème.

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