Question : Construis un cerf-volant \(ABCD\) dont l’aire vaut \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\) et qui possède exactement deux angles obtus.
Pour construire un cerf-volant de 30 cm² avec deux angles obtus :
Pour construire un cerf-volant \(ABCD\) ayant une aire de \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\) et possédant exactement deux angles obtus, suivons les étapes suivantes :
Un cerf-volant est un quadrilatère qui possède les propriétés suivantes : - Deux paires de côtés adjacents sont de même longueur, c’est-à-dire \(AB = AD\) et \(CB = CD\). - Ses diagonales se coupent perpendiculairement (à angle droit). - L’une des diagonales (la plus longue) forme les angles obtus.
Pour définir le cerf-volant, nous avons besoin de : - La longueur des deux diagonales. - S’assurer que l’aire du cerf-volant correspond à \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\). - Garantir que le cerf-volant possède exactement deux angles obtus.
L’aire (\(A\)) d’un cerf-volant peut être calculée à l’aide de la formule suivante : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \] où \(d_1\) et \(d_2\) sont les longueurs des diagonales.
Sachant que \(A = 30 \, \mathrm{cm}^{2}\), nous pouvons établir la relation : \[ d_1 \times d_2 = 2 \times A = 60 \, \mathrm{cm}^{2} \]
Pour simplifier, choisissons des longueurs de diagonales qui sont des multiples simples et dont le produit est \(60 \, \mathrm{cm}^{2}\).
Par exemple : - Supposons que la diagonale \(d_1 = 12 \, \mathrm{cm}\). - Alors, \(d_2 = \frac{60}{12} = 5 \, \mathrm{cm}\).
Les diagonales se coupent en leur milieu. Donc : - Le point d’intersection est le milieu de \(AC\) et \(BD\). - À partir de ce point central, mesurez \(6 \, \mathrm{cm}\) de chaque côté le long de \(AC\) pour obtenir les sommets \(A\) et \(C\). - Mesurez \(2,5 \, \mathrm{cm}\) de chaque côté le long de \(BD\) pour obtenir les sommets \(B\) et \(D\).
Reliez les points \(A\) à \(B\), \(B\) à \(C\), \(C\) à \(D\) et \(D\) à \(A\) pour former le cerf-volant \(ABCD\).
Dans un cerf-volant, les angles situés entre les paires de côtés de même longueur sont égaux. Les angles correspondant aux diagonales se coupant perpendiculairement seront : - Les angles à \(A\) et \(C\) seront aigus. - Les angles à \(B\) et \(D\) seront obtus.
Ainsi, le cerf-volant \(ABCD\) possède exactement deux angles obtus, respectant les conditions du problème.
Vérifions l’aire calculée : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{12 \times 5}{2} = 30 \, \mathrm{cm}^{2} \] L’aire correspond bien à celle demandée.
En suivant ces étapes, nous avons construit un cerf-volant \(ABCD\) avec une aire de \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\) et possédant exactement deux angles obtus.