Exercice 8

Question : Construis un cerf-volant \(ABCD\) dont l’aire vaut \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\) et qui possède exactement deux angles obtus.

Réponse

Pour construire un cerf-volant de 30 cm² avec deux angles obtus :

  1. Choisir des diagonales perpendiculaires de 12 cm et 5 cm.
  2. Tracer les diagonales et positionner les sommets aux extrémités.
  3. Relier les sommets pour former le cerf-volant \(ABCD\).
  4. Vérifier que l’aire est bien 30 cm² et que deux angles sont obtus.

Corrigé détaillé

Pour construire un cerf-volant \(ABCD\) ayant une aire de \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\) et possédant exactement deux angles obtus, suivons les étapes suivantes :

1. Comprendre les propriétés d’un cerf-volant

Un cerf-volant est un quadrilatère qui possède les propriétés suivantes : - Deux paires de côtés adjacents sont de même longueur, c’est-à-dire \(AB = AD\) et \(CB = CD\). - Ses diagonales se coupent perpendiculairement (à angle droit). - L’une des diagonales (la plus longue) forme les angles obtus.

2. Identifier les éléments nécessaires à la construction

Pour définir le cerf-volant, nous avons besoin de : - La longueur des deux diagonales. - S’assurer que l’aire du cerf-volant correspond à \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\). - Garantir que le cerf-volant possède exactement deux angles obtus.

3. Calcul de l’aire d’un cerf-volant

L’aire (\(A\)) d’un cerf-volant peut être calculée à l’aide de la formule suivante : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} \]\(d_1\) et \(d_2\) sont les longueurs des diagonales.

Sachant que \(A = 30 \, \mathrm{cm}^{2}\), nous pouvons établir la relation : \[ d_1 \times d_2 = 2 \times A = 60 \, \mathrm{cm}^{2} \]

4. Choisir des longueurs de diagonales appropriées

Pour simplifier, choisissons des longueurs de diagonales qui sont des multiples simples et dont le produit est \(60 \, \mathrm{cm}^{2}\).

Par exemple : - Supposons que la diagonale \(d_1 = 12 \, \mathrm{cm}\). - Alors, \(d_2 = \frac{60}{12} = 5 \, \mathrm{cm}\).

5. Dessiner les diagonales perpendiculaires

  1. Tracez la diagonale \(AC\) de \(12 \, \mathrm{cm}\).
  2. Au milieu de \(AC\), tracez la diagonale \(BD\) perpendiculaire à \(AC\) de \(5 \, \mathrm{cm}\).

6. Déterminer les positions des sommets

Les diagonales se coupent en leur milieu. Donc : - Le point d’intersection est le milieu de \(AC\) et \(BD\). - À partir de ce point central, mesurez \(6 \, \mathrm{cm}\) de chaque côté le long de \(AC\) pour obtenir les sommets \(A\) et \(C\). - Mesurez \(2,5 \, \mathrm{cm}\) de chaque côté le long de \(BD\) pour obtenir les sommets \(B\) et \(D\).

7. Connecter les sommets pour former le cerf-volant

Reliez les points \(A\) à \(B\), \(B\) à \(C\), \(C\) à \(D\) et \(D\) à \(A\) pour former le cerf-volant \(ABCD\).

8. Vérification des angles obtus

Dans un cerf-volant, les angles situés entre les paires de côtés de même longueur sont égaux. Les angles correspondant aux diagonales se coupant perpendiculairement seront : - Les angles à \(A\) et \(C\) seront aigus. - Les angles à \(B\) et \(D\) seront obtus.

Ainsi, le cerf-volant \(ABCD\) possède exactement deux angles obtus, respectant les conditions du problème.

9. Vérification de l’aire

Vérifions l’aire calculée : \[ A = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{12 \times 5}{2} = 30 \, \mathrm{cm}^{2} \] L’aire correspond bien à celle demandée.

Conclusion

En suivant ces étapes, nous avons construit un cerf-volant \(ABCD\) avec une aire de \(30 \, \mathrm{cm}^{2}\) et possédant exactement deux angles obtus.

En haut

Acceptez-vous que toute votre activité sur le site soit enregistrée à des fins d'amélioration et que des données soient stockées sur votre appareil (cookies) ?


Fermer