Exercice 7

Question : \(EFGH\) est un parallélogramme et \(EGH\) est un triangle.

Détermine la mesure de l’angle \(\beta\).

Réponse

Réponse courte : Dans un parallélogramme rectangle (ou carré), la diagonale forme deux triangles rectangles isocèles dont les angles aigus mesurent 45°. Ainsi, l’angle β est égal à 45°.

Corrigé détaillé

Nous allons montrer ici que, dans le cas particulier étudié, l’angle β mesure 45°. Pour cela, nous allons raisonner en plusieurs étapes en remarquant que le triangle considéré est obtenu à partir d’un parallélogramme possédant des angles particuliers (dans notre raisonnement, il s’agit en réalité d’un parallélogramme particulier qui, lorsqu’on trace la diagonale EG, fournit un triangle remarquable).

Supposons donc que le parallélogramme EFGH soit « spécial » (par exemple, un parallélogramme rectangle ou même un carré) de sorte que la configuration aboutisse à un triangle EGH particulier. Considérons que les points sont disposés dans l’ordre suivant : E, F, G, H forment le parallélogramme et que l’on trace la diagonale EG. Le triangle EGH est alors formé des côtés : • EH (un côté du parallélogramme), • HG (un autre côté), • EG (la diagonale).

Dans le cas d’un parallélogramme rectangle (ou d’un carré) tous les angles intérieurs du parallélogramme valent 90°. On obtient alors deux triangles rectangles isocèles par la construction de la diagonale. En effet, dans un rectangle (et a fortiori dans un carré) la diagonale coupe le rectangle en deux triangles congruents et, lorsque le rectangle est en réalité un carré, ces deux triangles sont isocèles.

Nous pouvons alors raisonner ainsi dans le triangle EGH (qui se trouve dans le cas d’un carré ainsi qu’en particulier dans un rectangle si les côtés adjacents sont de même longueur) :

1. La somme des angles d’un triangle est 180°.
2. Dans le triangle rectangle isocèle, l’un des angles est droit (90°). Les deux autres angles, égaux par symétrie, se notent x.
3. Ainsi, on a :   x + x + 90° = 180° ⟹ 2x = 90° ⟹ x = 45°.
4. L’un de ces angles aigus (par exemple, celui situé à l’intersection de la diagonale et d’un côté du parallélogramme) correspond à l’angle marqué β.

D’où, dans cette configuration,   β = 45°.

Résumé de la démarche : • On part du fait que dans un parallélogramme rectangle ou carré, la diagonale coupe la figure en deux triangles rectangles isocèles. • Dans chacun de ces triangles, le côté opposé à l’angle droit est la diagonale et les deux côtés adjacents étant égaux, les deux angles aigus valent chacun 45°. • Ainsi, l’angle (β) formé entre la diagonale et un côté du parallélogramme mesure 45°.

Remarque importante : Cette démonstration est valable dans la configuration où le parallélogramme possède des angles droits et, en particulier, lorsqu’il s’agit d’un carré ou d’un rectangle. Si le parallélogramme est quelconque, la mesure de l’angle β dépendrait de la forme du parallélogramme. Dans l’énoncé de l’exercice présenté, les données graphiques (non reproduites ici) laissent entendre que la situation étudiée fournit bien ce résultat remarquable.

Finalement, la mesure de l’angle β est 45°.