Dans un losange, la grande diagonale mesure 7 cm de plus que la petite. Si l’on diminuait la longueur de la grande diagonale de 9 cm et si l’on augmentait la longueur de la petite diagonale de 5 cm, l’aire diminuerait de \(82\, \mathrm{cm}^{2}\). Calculer la longueur de chaque diagonale.
Réponse : la petite diagonale mesure 38,5 cm et la grande diagonale 45,5 cm.
On note dₚ la petite diagonale et d_G la grande diagonale. D’après l’énoncé, la grande diagonale mesure 7 cm de plus que la petite, ce qui nous donne la relation :
d_G = dₚ + 7
L’aire A d’un losange est donnée par la formule :
A = (d_G × dₚ) / 2
Après modification, la grande diagonale est diminuée de 9 cm et la petite est augmentée de 5 cm. Ainsi, les nouvelles mesures sont :
Nouvelle grande diagonale = d_G - 9
Nouvelle petite diagonale = dₚ + 5
La nouvelle aire (que l’on appellera A’) s’exprime alors par :
A’ = ((d_G - 9) × (dₚ + 5)) / 2
L’énoncé nous indique que l’aire diminue de 82 cm² lorsque l’on effectue ces changements, ce qui se traduit par :
A - A’ = 82
En remplaçant A et A’ par leurs expressions, on a :
[(d_G × dₚ) / 2] - [((d_G - 9) × (dₚ + 5)) / 2] = 82
On peut multiplier toute l’équation par 2 pour se débarrasser du dénominateur :
d_G × dₚ - (d_G - 9)(dₚ + 5) = 164
On connaît la relation entre d_G et dₚ : d_G = dₚ + 7. On remplace donc d_G dans l’équation :
(dₚ + 7) × dₚ - [(dₚ + 7 - 9)(dₚ + 5)] = 164
Simplifions l’expression à l’intérieur de la seconde parenthèse : dₚ + 7 - 9 = dₚ - 2
L’équation devient alors :
dₚ(dₚ + 7) - [(dₚ - 2)(dₚ + 5)] = 164
Développons chaque produit :
Pour le premier terme : dₚ(dₚ + 7) = dₚ² + 7dₚ
Pour le second terme, en utilisant la distributivité : (dₚ - 2)(dₚ + 5) = dₚ² + 5dₚ - 2dₚ - 10 = dₚ² + 3dₚ - 10
En remplaçant ces développements dans notre équation :
[dₚ² + 7dₚ] - [dₚ² + 3dₚ - 10] = 164
Faisons attention aux signes lors de la soustraction :
dₚ² + 7dₚ - dₚ² - 3dₚ + 10 = 164
Les termes dₚ² se simplifient, et on regroupe les termes en dₚ :
(7dₚ - 3dₚ) + 10 = 164
4dₚ + 10 = 164
Soustrayons 10 des deux côtés :
4dₚ = 154
Divisons ensuite par 4 :
dₚ = 154 / 4 = 38,5 (cm)
Maintenant, on retrouve d_G à l’aide de la relation d_G = dₚ + 7 :
d_G = 38,5 + 7
d_G = 45,5 (cm)
Pour résumer :
• La petite diagonale mesure 38,5 cm (ce qui peut aussi s’écrire 77/2 cm).
• La grande diagonale mesure 45,5 cm (ou 91/2 cm).
Ces mesures vérifient bien la diminution d’aire annoncée dans l’énoncé.