Exercice 3

Placer les points \(A(2 ; 2)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(12 ; 3)\) dans un même système d’axes.
Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(D\) du parallélogramme \(ABCD\).
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire de ce parallélogramme.

Réponse

Les points \(A(2 ; 2)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(12 ; 3)\) sont placés dans un système de coordonnées. Le quatrième sommet du parallélogramme \(ABCD\) est \(D(6 ; 5)\). L’aire du parallélogramme est d’environ 31,62 unités carrées.

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Énoncé :
Placer les points \(A(2 ; 2)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(12 ; 3)\) dans un même système d’axes.
Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(D\) du parallélogramme \(ABCD\).
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire de ce parallélogramme.

1. Placement des points dans le système de coordonnées

Pour commencer, nous allons placer les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un système de coordonnées cartésiennes.

Point \(A(2 ; 2)\) :
- Abscisse \(x = 2\)
- Ordonnée \(y = 2\)
Point \(B(8 ; 0)\) :
- Abscisse \(x = 8\)
- Ordonnée \(y = 0\)
Point \(C(12 ; 3)\) :
- Abscisse \(x = 12\)
- Ordonnée \(y = 3\)

Grille cartésienne avec les points A, B et C
Figure 1 : Placement des points \(A\), \(B\) et \(C\) dans le plan.

2. Détermination des coordonnées du sommet \(D\) du parallélogramme \(ABCD\)

Un parallélogramme possède la propriété que les diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, le milieu de la diagonale \(AC\) est aussi le milieu de la diagonale \(BD\).

a. Calcul des coordonnées du milieu de \(AC\)

Les coordonnées du milieu \(M\) d’un segment dont les extrémités sont \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) se calculent par : \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2} ; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]

Appliquons cette formule pour le segment \(AC\) : \[ M_AC = \left( \frac{2 + 12}{2} ; \frac{2 + 3}{2} \right) = \left( \frac{14}{2} ; \frac{5}{2} \right) = (7 ; 2.5) \]

b. Utilisation du milieu pour trouver \(D\)

Le milieu de \(BD\) est également \(M_AC = (7 ; 2.5)\).

Soit \(D(x ; y)\). Calculons les coordonnées de \(D\) en utilisant la formule du milieu sur \(BD\) : \[ M_{BD} = \left( \frac{8 + x}{2} ; \frac{0 + y}{2} \right) = (7 ; 2.5) \]

Ainsi, nous avons les équations suivantes : \[ \frac{8 + x}{2} = 7 \quad \text{et} \quad \frac{0 + y}{2} = 2.5 \]

Résolvons ces équations pour \(x\) et \(y\) :

Pour \(x\) : \[ \frac{8 + x}{2} = 7 \implies 8 + x = 14 \implies x = 14 - 8 \implies x = 6 \]
Pour \(y\) : \[ \frac{y}{2} = 2.5 \implies y = 2.5 \times 2 \implies y = 5 \]

Ainsi, les coordonnées du point \(D\) sont \(D(6 ; 5)\).

Parallélogramme ABCD avec le point D déterminé
Figure 2 : Construction du parallélogramme \(ABCD\).

3. Calcul de l’aire du parallélogramme \(ABCD\)

L’aire \(\mathcal{A}\) d’un parallélogramme peut être calculée en utilisant la formule : \[ \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} \]

a. Détermination de la base et de la hauteur

Choisissons \(AB\) comme base du parallélogramme.

Longueur de la base \(AB\) :

Les coordonnées de \(A(2 ; 2)\) et \(B(8 ; 0)\) permettent de calculer la distance \(AB\) par la formule de la distance entre deux points : \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.324 \, \text{unités} \]

Hauteur du parallélogramme :

La hauteur correspond à la distance perpendiculaire entre la base \(AB\) et le sommet \(D\). Pour simplifier, nous pouvons utiliser la différence en ordonnée entre \(D\) et \(AB\).

Coordonnées de \(D(6 ; 5)\) et de \(AB\) située entre \(y = 0\) et \(y = 2\).

La hauteur est donc \(h = 5 - 0 = 5\) unités (en considérant que \(AB\) est posée horizontalement à \(y = 0\)).

b. Calcul de l’aire

Appliquons la formule : \[ \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = 6.324 \times 5 \approx 31.62 \, \text{unités carrées} \]

Ainsi, l’aire du parallélogramme \(ABCD\) est d’environ 31.62 unités carrées.

Conclusion

Nous avons placé les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un système de coordonnées, déterminé les coordonnées du quatrième sommet \(D(6 ; 5)\) du parallélogramme \(ABCD\), puis calculé son aire qui est d’environ 31.62 unités carrées.