Placer les points \(A(2 ; 2)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(12 ; 3)\) dans un même système d’axes.
Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(D\) du parallélogramme \(ABCD\).
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire de ce parallélogramme.
Les points \(A(2 ; 2)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(12 ; 3)\) sont placés dans un système de coordonnées. Le quatrième sommet du parallélogramme \(ABCD\) est \(D(6 ; 5)\). L’aire du parallélogramme est d’environ 31,62 unités carrées.
Énoncé :
Placer les points \(A(2 ; 2)\), \(B(8 ; 0)\) et \(C(12 ; 3)\) dans un même système d’axes.
Déterminer graphiquement les coordonnées du sommet \(D\) du parallélogramme \(ABCD\).
Effectuer les mesures nécessaires et calculer l’aire de ce parallélogramme.
Pour commencer, nous allons placer les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un système de coordonnées cartésiennes.
Figure 1 : Placement des points \(A\), \(B\) et \(C\) dans le plan.
Un parallélogramme possède la propriété que les diagonales se coupent en leur milieu. Ainsi, le milieu de la diagonale \(AC\) est aussi le milieu de la diagonale \(BD\).
Les coordonnées du milieu \(M\) d’un segment dont les extrémités sont \((x_1, y_1)\) et \((x_2, y_2)\) se calculent par : \[ M\left( \frac{x_1 + x_2}{2} ; \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \]
Appliquons cette formule pour le segment \(AC\) : \[ M_AC = \left( \frac{2 + 12}{2} ; \frac{2 + 3}{2} \right) = \left( \frac{14}{2} ; \frac{5}{2} \right) = (7 ; 2.5) \]
Le milieu de \(BD\) est également \(M_AC = (7 ; 2.5)\).
Soit \(D(x ; y)\). Calculons les coordonnées de \(D\) en utilisant la formule du milieu sur \(BD\) : \[ M_{BD} = \left( \frac{8 + x}{2} ; \frac{0 + y}{2} \right) = (7 ; 2.5) \]
Ainsi, nous avons les équations suivantes : \[ \frac{8 + x}{2} = 7 \quad \text{et} \quad \frac{0 + y}{2} = 2.5 \]
Résolvons ces équations pour \(x\) et \(y\) :
Pour \(x\) : \[ \frac{8 + x}{2} = 7 \implies 8 + x = 14 \implies x = 14 - 8 \implies x = 6 \]
Pour \(y\) : \[ \frac{y}{2} = 2.5 \implies y = 2.5 \times 2 \implies y = 5 \]
Ainsi, les coordonnées du point \(D\) sont \(D(6 ; 5)\).
Figure 2 : Construction du parallélogramme \(ABCD\).
L’aire \(\mathcal{A}\) d’un parallélogramme peut être calculée en utilisant la formule : \[ \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} \]
Choisissons \(AB\) comme base du parallélogramme.
Les coordonnées de \(A(2 ; 2)\) et \(B(8 ; 0)\) permettent de calculer la distance \(AB\) par la formule de la distance entre deux points : \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(8 - 2)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{6^2 + (-2)^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6.324 \, \text{unités} \]
La hauteur correspond à la distance perpendiculaire entre la base \(AB\) et le sommet \(D\). Pour simplifier, nous pouvons utiliser la différence en ordonnée entre \(D\) et \(AB\).
Coordonnées de \(D(6 ; 5)\) et de \(AB\) située entre \(y = 0\) et \(y = 2\).
La hauteur est donc \(h = 5 - 0 = 5\) unités (en considérant que \(AB\) est posée horizontalement à \(y = 0\)).
Appliquons la formule : \[ \mathcal{A} = \text{base} \times \text{hauteur} = 6.324 \times 5 \approx 31.62 \, \text{unités carrées} \]
Ainsi, l’aire du parallélogramme \(ABCD\) est d’environ 31.62 unités carrées.
Nous avons placé les points \(A\), \(B\) et \(C\) dans un système de coordonnées, déterminé les coordonnées du quatrième sommet \(D(6 ; 5)\) du parallélogramme \(ABCD\), puis calculé son aire qui est d’environ 31.62 unités carrées.