Question : Dans un cercle de 4 cm de rayon, inscris un losange \(EFGH\) dont les milieux des côtés sont, respectivement, \(M\), \(N\), \(O\) et \(P\).
Quel est le périmètre du polygone \(MNOP\) ?
Le losange inscrit dans le cercle est en fait un carré de côté 4√2 cm, donc sa diagonale est 8 cm. Les milieux de ses côtés forment un autre carré de côté 4 cm et de périmètre 16 cm.
Nous allons raisonner pas à pas.
Démarche préliminaire – savoir quel quadrilatère est inscrit dans le cercle
On nous demande d’inscrire un losange EFGH dans un cercle de rayon 4 cm. Pour qu’un losange soit inscrit dans un cercle (c’est-à-dire que tous ses sommets soient sur le cercle), il faut que les angles opposés soient supplémentaires. Dans un losange, les angles opposés sont égaux. Ainsi, pour que deux angles égaux aient pour somme 180°, chacun doit valoir 90°.
Conclusion : le losange EFGH est en réalité un carré.
Calcul de la longueur du côté du carré
On sait qu’un carré inscrit dans un cercle a pour diagonale le diamètre du cercle.
Le rayon du cercle est 4 cm, donc le diamètre est 8 cm.
Pour un carré, si la longueur du côté est s et la diagonale d, la relation est :
d = s√2
Ici, d = 8 donc :
s√2 = 8 ⟹ s = 8/√2 = (8√2)/2 = 4√2 (cm).
Détermination du polygone MNOP
Les points M, N, O et P sont les milieux des côtés du carré EFGH.
Il est connu que dans tout quadrilatère, les milieux des côtés forment un parallélogramme. Pour un carré, ce parallélogramme est en fait un autre carré.
On peut montrer géométriquement que le côté de ce petit carré est égal à la moitié de la diagonale du carré initial.
La diagonale du carré initial mesure 8 cm, donc le côté du carré MNOP est :
8/2 = 4 (cm).
Calcul du périmètre de MNOP
Le périmètre d’un carré est 4 fois la longueur de son côté.
Ici, chaque côté mesure 4 cm, alors :
Périmètre = 4 × 4 = 16 (cm).
Ainsi, le périmètre du polygone MNOP est de 16 cm.