Exercice 1

Question :

1. Dessinez deux parallélogrammes semblables et un troisième parallélogramme non semblable aux deux premiers. Pour chaque parallélogramme, indiquez les mesures de ses angles et de ses côtés.

2. Comment peut-on déterminer si deux parallélogrammes sont semblables ?

Réponse

Résumé de la correction :

1. Parallélogrammes semblables :

• Possèdent les mêmes angles.
• Les côtés correspondants sont proportionnels.
• Exemple : Parallélogramme 1 (angles 60°/120°, côtés 4 cm & 6 cm) et Parallélogramme 2 (angles identiques, côtés doublés).

Parallélogramme non semblable : - A des angles ou des proportions de côtés différents. - Exemple : Parallélogramme 3 avec angles 70°/110° et côtés 5 cm & 7 cm.

2. Critères de similarité :

• Angles égaux : Les angles correspondants doivent être identiques.
• Côtés proportionnels : Les longueurs des côtés doivent avoir le même rapport.

Ces conditions garantissent que les parallélogrammes ont la même forme, même si leurs tailles varient.

Corrigé détaillé

Correction de l’Exercice

Question a)

Dessinez deux parallélogrammes semblables et un troisième parallélogramme non semblable aux deux premiers. Pour chaque parallélogramme, indiquez les mesures de ses angles et de ses côtés.

Étape 1 : Comprendre ce qu’est un parallélogramme

Un parallélogramme est une figure géométrique à quatre côtés où :

• Les côtés opposés sont parallèles et de même longueur.
• Les angles opposés sont égaux.
• Les angles consécutifs sont supplémentaires, c’est-à-dire qu’ils totalisent \(180^\circ\).

Étape 2 : Dessiner deux parallélogrammes semblables

Deux figures sont semblables si elles ont la même forme mais pas nécessairement la même taille. Pour les parallélogrammes, cela signifie que leurs angles sont égaux et que les longueurs de leurs côtés sont proportionnelles.

Parallélogramme 1 :

• Angles : \(\angle A = 60^\circ\), \(\angle B = 120^\circ\), \(\angle C = 60^\circ\), \(\angle D = 120^\circ\)
• Côtés :
  • Côté \(AB = 4\) cm
  • Côté \(BC = 6\) cm
  • Côté \(CD = 4\) cm
  • Côté \(DA = 6\) cm

Parallélogramme 2 (semblable au Parallélogramme 1) :

• Angles : \(\angle A' = 60^\circ\), \(\angle B' = 120^\circ\), \(\angle C' = 60^\circ\), \(\angle D' = 120^\circ\)
• Côtés :
  • Côté \(A'B' = 8\) cm (double de 4 cm)
  • Côté \(B'C' = 12\) cm (double de 6 cm)
  • Côté \(C'D' = 8\) cm
  • Côté \(D'A' = 12\) cm

Remarque : Les deux parallélogrammes ont les mêmes angles et les côtés du deuxième sont proportionnels (multipliés par 2) par rapport au premier, donc ils sont semblables.

Étape 3 : Dessiner un troisième parallélogramme non semblable

Pour qu’un parallélogramme ne soit pas semblable aux deux premiers, il doit avoir des angles différents ou des proportions de côtés différentes.

Parallélogramme 3 (non semblable aux deux premiers) :

• Angles : \(\angle A'' = 70^\circ\), \(\angle B'' = 110^\circ\), \(\angle C'' = 70^\circ\), \(\angle D'' = 110^\circ\)
• Côtés :
  • Côté \(A''B'' = 5\) cm
  • Côté \(B''C'' = 7\) cm
  • Côté \(C''D'' = 5\) cm
  • Côté \(D''A'' = 7\) cm

Explication : Bien que les côtés opposés soient de même longueur, les angles ne sont pas les mêmes que ceux des deux premiers parallélogrammes. De plus, les proportions des côtés ne correspondent pas, rendant ce parallélogramme non semblable aux deux premiers.

Question b)

Comment peut-on déterminer si deux parallélogrammes sont semblables ?

Étape 1 : Vérifier les angles

Pour que deux parallélogrammes soient semblables, leurs angles correspondants doivent être égaux.

• Angles égaux : Si les angles de l’un sont \(60^\circ\) et \(120^\circ\), l’autre doit aussi avoir des angles de \(60^\circ\) et \(120^\circ\).

Étape 2 : Vérifier la proportion des côtés

En plus des angles égaux, les longueurs des côtés doivent être proportionnelles.

• Proportions égales : Le rapport entre les longueurs des côtés correspondants doit être constant.

  Par exemple, si dans le premier parallélogramme, les côtés mesurent \(4\) cm et \(6\) cm, et dans le second, ils mesurent \(8\) cm et \(12\) cm, alors le facteur de proportion est \(2\) (car \(8 \div 4 = 2\) et \(12 \div 6 = 2\)).

Étape 3 : Conclusion

Si deux parallélogrammes respectent à la fois l’égalité de leurs angles et la proportionnalité de leurs côtés, alors ils sont semblables.

Résumé :

• Angles égaux.
• Côtés proportionnels.

Ces deux conditions assurent que les parallélogrammes ont la même forme, même si leurs tailles diffèrent.