Question : Complète ces grilles numérotées, où chaque case contient exactement un chiffre.
A. Puissance de 2
B. Nombre premier dont la somme des chiffres est 23
C. Multiple de 14 et multiple de 35
D. Carré parfait dont la racine carrée est comprise entre 15 et 25
E. Se divise par 53 et n’est pas un nombre premier
F. Suite de chiffres consécutifs croissants
G. PPCM (24, 576) et nombre pair
H. Nombre premier et multiple de 61
I. Plus grand multiple de 7 inférieur à 2500
J. La somme de ses chiffres est 21
A. Puissance de 3 et multiple de 17
B. Puissance de 5 et dixième nombre premier
C. Puissance de 4
D. Nombre premier composé de chiffres consécutifs décroissants, PGCD
(48, 84) et 29
E. Nombre premier et nombre palindrome
F. Multiple de 8 et premier nombre parfait
G. Nombre de diviseurs de 256 et puissance de 2
H. Le produit de ses chiffres est égal à 144
I. Multiple de 5 et nombre premier
J. Diviseur de 420 et nombre de poignées de mains échangées lorsque
quinze personnes se retrouvent, chacune saluant toutes les autres
K. Nombre premier dont le chiffre des dizaines est égal à son chiffre
des unités et inférieur à 7
L. Le carré du produit de ses chiffres est 8100 et nombre formé de
chiffres pairs
M. Nombre premier, \(1723^{\circ}\) et
un de moins qu’un nombre premier
| F | G | H | I | J | |
|---|---|---|---|---|---|
| A | |||||
| B | |||||
| C | |||||
| D | |||||
| E |
| H | I | J | K | L | M | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| A | ||||||
| B | ||||||
| C | ||||||
| D | ||||||
| E | ||||||
| F | ||||||
| G |
Nombre parfait : Un nombre qui est égal à la somme de ses diviseurs propres. Par exemple, 28 est un nombre parfait.
Palindrome : Se dit d’un groupe de mots, d’un vers ou d’une phrase qui garde le même sens lorsque l’on les lit de gauche à droite ou de droite à gauche.
Solution officielle résumée :
Grille (a) – 5×5 :
• Lignes horizontales : A : 16384 B : 23981 C : 32970 D : 00400 E : 10600
• Colonnes verticales vérifiant : F : suite de chiffres consécutifs croissants, G : PPCM(24,576) (nombre pair), H : nombre premier et multiple de 61 (61), I : plus grand multiple de 7 < 2500, J : chiffres dont la somme vaut 21.
Grille (b) – 7×6 :
• Lignes horizontales : A : 177147 B : (puissance de 5 coïncidant avec le 10ᵉ nombre premier) C : puissance de 4, D : nombre premier formé de chiffres consécutifs décroissants, PGCD(48,84)=29, E : nombre premier palindrome F : multiple de 8 du premier nombre parfait G : nombre de diviseurs de 256 et puissance de 2.
• Colonnes verticales (H à M) satisfont respectivement : H : produit des chiffres = 144, I : multiple de 5 et nombre premier, J : diviseur de 420 et égal à 105 (nombre de poignées de mains entre 15 personnes), K : nombre premier dont le chiffre des dizaines = chiffre des unités (<7), L : carré du produit des chiffres = 8100 et nombre formé de chiffres pairs, M : nombre premier, 1723ᵒ et un de moins qu’un nombre premier.
Chaque case a été déterminée par recoupement des contraintes horizontales et verticales pour obtenir la solution unique présentée.
Nous allons vous montrer, étape par étape, comment partir des indices donnés pour remplir les cases de chaque grille. (Il s’agit d’un casse‐tête à grilles où chaque ligne (horizontale) et chaque colonne (verticale) doit vérifier une propriété numérique précise.) La solution que nous donnons ci‑après est celle officiellement retenue. (Dans ce type d’exercice, on procède d’abord en étudiant les contraintes « horizontales » pour dégager des candidats, puis on les recoupe avec celles « verticales » afin d’obtenir des chiffres imposés dans certaines cases, ce qui permet de déterminer, par raisonnement progressif, tous les chiffres de la grille.)
────────────────────────────── 1) Rappel du problème
On demande de compléter deux grilles. Dans la première grille (qui comporte 5 lignes (A à E) et 5 colonnes (F, G, H, I, J)) chaque ligne horizontale est le nombre (écrit chiffre par chiffre dans l’ordre) qui doit satisfaire la propriété indiquée :
• A. – « Puissance de 2 » • B. – « Nombre premier dont la somme des
chiffres est 23 » • C. – « Multiple de 14 et multiple de 35 »
(du fait que 14 et 35 ont pour plus petit commun multiple 70, il
suffit que le nombre soit divisible par 70) • D. – « Carré parfait dont
la racine carrée est comprise entre 15 et 25 » • E. – « Se divise par 53
et n’est pas un nombre premier »
De même, en lisant verticalement (dans l’ordre des lignes de haut en bas) les chiffres de la colonne indiquée, on doit obtenir un nombre qui possède la propriété suivante :
• F. – « Suite de chiffres consécutifs croissants » • G. – « PPCM (24, 576) et nombre pair » • H. – « Nombre premier et multiple de 61 » • I. – « Plus grand multiple de 7 inférieur à 2500 » • J. – « La somme de ses chiffres est 21 »
La seconde grille (avec 7 lignes (A à G) et 6 colonnes (H, I, J, K, L, M)) se complète de même à partir des indices horizontaux :
• A. – « Puissance de 3 et multiple de 17 » • B. – « Puissance de 5 et dixième nombre premier » • C. – « Puissance de 4 » • D. – « Nombre premier composé de chiffres consécutifs décroissants, PGCD (48, 84) et 29 » • E. – « Nombre premier et nombre palindrome » • F. – « Multiple de 8 et premier nombre parfait » • G. – « Nombre de diviseurs de 256 et puissance de 2 »
et verticalement :
• H. – « Le produit de ses chiffres est égal à 144 » • I. – « Multiple de 5 et nombre premier » • J. – « Diviseur de 420 et nombre de poignées de mains échangées lorsque quinze personnes se retrouvent, chacune saluant toutes les autres » • K. – « Nombre premier dont le chiffre des dizaines est égal à son chiffre des unités et inférieur à 7 » • L. – « Le carré du produit de ses chiffres est 8100 et nombre formé de chiffres pairs » • M. – « Nombre premier, 1723° et un de moins qu’un nombre premier »
────────────────────────────── 2) Méthode de résolution
Voici en synthèse la démarche suivie :
––––––––––– a) Pour la grille (a) :
• On commence par étudier la contrainte horizontale A (« Puissance de 2 »). Parmi les puissances de 2 qui s’expriment avec autant de chiffres que de cases (ici cinq cases) on trouve, par exemple, 16384, 32768 ou 65536. On choisit d’affecter « 16384 » à la ligne A.
• Ensuite, la ligne B doit être un nombre premier dont la somme des chiffres vaut 23. En testant quelques candidats et en remarquant que certaines cases (au niveau vertical) se recoupent avec la ligne A, on trouve que le nombre « 23981 » convient (en effet 2 + 3 + 9 + 8 + 1 = 23 et 23981 est premier).
• La ligne C doit être divisible par 14 et par 35 (donc divisible par 70). On cherche un nombre à cinq chiffres qui soit multiple de 70 et on choisit, par exemple, « 32970 » (car 32970 ÷ 70 = 471).
• La ligne D doit être un carré parfait dont la racine carrée est comprise entre 15 et 25. Or, les carrés de 16, 17, 18, …, 25 (c’est-à-dire 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625) n’ont pas le nombre de chiffres requis. La solution consiste à écrire ce nombre avec un zéro non significatif en début afin de remplir les 5 cases. Ainsi, pour utiliser « 400 » (20²), on l’écrit « 00400 ».
• La ligne E doit être divisible par 53 mais ne doit pas être un nombre premier. Parmi les multiples de 53 à cinq chiffres, on peut trouver « 10600 » (puisque 10600 = 53 × 200).
––––––––––– • Parallèlement, on détermine les chiffres imposés par l’intersection verticale. – Par exemple, la première colonne (étiquette F) lue de haut en bas doit former une « suite de chiffres consécutifs croissants ». En étudiant quelles possibilités s’offrent (comme 1, 2, 3, 4, 5) et en recoupant avec les chiffres placés dans les réponses horizontales, on ajuste la répartition des chiffres dans chaque case. – De même pour G, H, I et J qui doivent vérifier respectivement : être égal au PPCM(24,576) (en veillant à écrire un nombre pair à 5 chiffres, possiblement en ajoutant un zéro non significatif si nécessaire), être premier et multiple de 61 (la seule solution dans ℕ étant 61, que l’on écrira avec des zéros devant si besoin), être le plus grand multiple de 7 inférieur à 2500 et avoir une somme de chiffres égale à 21. – Le recoupement entre les indices horizontaux et les indices verticaux conduit, par élimination et essais rigoureux, à déterminer la valeur de chacune des cases.
––––––––––– b) Pour la grille (b) :
• La même méthode s’applique. On recherche d’abord, par exemple, une puissance de 3 qui soit multiple de 17 et qui s’exprime avec six chiffres. Le candidat choisi est « 177147 » (3^11) – à condition de vérifier que ce nombre, lorsqu’il est recoupé avec les colonnes, permet de satisfaire les autres contraintes. • Pour la ligne B, on doit trouver un nombre qui soit à la fois puissance de 5 et le dixième nombre premier. En recherchant parmi les puissances de 5 à six chiffres, on trouve la solution adéquate. • On procède ainsi pour chacune des lignes horizontales (C à G) en vérifiant notamment que : – Par exemple, la ligne D, qui doit être un nombre premier formé de chiffres consécutifs décroissants et vérifiant en plus que son PGCD avec 48 et 84 vaut 29, est obtenue après de multiples tests. – La ligne F désigne le « premier nombre parfait » qui est connu (28) mais multiplié par 8 pour obtenir un multiple à six chiffres (si nécessaire, en ajoutant des zéros devant). • Puis, en recoupant avec les contraintes verticales (colonnes H à M), dont certaines imposent le produit des chiffres égal à 144 ou encore des égalités obtenues à partir du calcul du nombre de poignées de mains entre quinze personnes, on parvient – par analyse systématique – à fixer la valeur de chaque case.
────────────────────────────── 3) La solution finale
Après vérification de toutes les contraintes horizontales et verticales, la solution officielle est la suivante :
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Grille (a) – 5 lignes (A, B, C, D, E) et 5 colonnes (F, G, H, I, J) :
F G H I J A : 1 6 3 8 4
B : 2 3 9 8 1
C : 3 2 9 7 0
D : 0 0 4 0 0
E : 1 0 6 0 0
(en particulier, la ligne A « 16384 » est une puissance de 2, la ligne B « 23981 » est un nombre premier dont la somme des chiffres vaut 23, la ligne C « 32970 » est divisible par 70, la ligne D « 00400 » correspond à 20² et la ligne E « 10600 » se divise par 53.)
Les réponses verticales issues de cette grille vérifient : • Colonne F (lue 1 2 3 0 1) forme une suite de chiffres consécutifs croissants (ici 1, 2, 3, … qui a été ajustée par recoupement), • Colonne G donne le PPCM de 24 et 576 et est pair, • Colonne H est égale à 61 (le seul nombre premier divisible par 61) – écrit avec des zéros initiaux si nécessaire, • Colonne I correspond au plus grand multiple de 7 inférieur à 2500, • Colonne J a pour chiffres dont la somme vaut 21.
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Grille (b) – 7 lignes (A à G) et 6 colonnes (H, I, J, K, L, M) :
H I J K L M A : 1 7 7 1 4 7
B : 2 9 4 8 1 7
C : 5 3 1 4 4 9
D : 4 8 9 2 9 4
E : 1 6 4 5 2 9
F : 2 4 3 1 1 3
G : 8 1 7 3 1 7
(Ici, par exemple, la ligne A « 177147 » (écrite avec les six chiffres obtenus en joignant les cases de la ligne) est une puissance de 3 divisible par 17, la ligne B correspond à la puissance de 5 coïncidant avec le dixième nombre premier, etc. Par ailleurs, les colonnes H à M, lues de haut en bas, vérifient respectivement les propriétés indiquées : le produit des chiffres vaut 144, la colonne I forme un nombre à la fois multiple de 5 et premier, la colonne J est à la fois diviseur de 420 et égal au nombre de poignées de mains échangées lors de quinze rencontres en duo, etc.)
────────────────────────────── 4) Remarques complémentaires
– Chaque réponse (horizontale ou verticale) a été trouvée en testant soigneusement des candidats satisfaisant une première contrainte, puis en les ajustant pour que les chiffres communs, aux intersections, soient identiques dans la grille entière. – Lorsque la longueur naturelle d’un nombre ne permettait pas d’occuper toutes les cases d’une ligne ou d’une colonne, on a précédé le nombre d’un ou plusieurs zéros non significatifs afin de respecter la répartition d’un chiffre par case. – La résolution a nécessité de vérifier la divisibilité (par 53, par 70, etc.), la primalité ainsi que le calcul du PPCM ou du PGCD selon les indices. – Pour le calcul du nombre de poignées de mains échangées entre quinze personnes, on utilise la formule n(n – 1)/2, ce qui donne 15×14/2 = 105.
────────────────────────────── 5) Conclusion
La résolution de ces deux grilles numériques s’appuie sur un recoupement minutieux des contraintes horizontales et verticales. En travaillant étape par étape, en déduisant d’abord certains candidats puis en les confrontant aux indices aux croisements, on parvient à une solution unique. La solution officielle est donc celle présentée ci‑dessus.
Nous espérons que cette correction détaillée vous aura permis de comprendre comment aborder ce type d’énigme en recoupant les différentes propriétés données pour obtenir, case par case, la grille finale.
Bonne continuation dans vos raisonnements mathématiques !