Exercice 54

Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul :

1. \(0{,}07 \cdot 600 \cdot 0{,}001\)

2. \(40 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}1 \cdot 100\)

3. \(500 \cdot 0{,}8 \cdot 20 \cdot 0{,}001\)

4. \(0{,}3 \cdot 0{,}005 \cdot 900 \cdot 20\)

5. \(400 \cdot 0{,}003 \cdot 0{,}25 \cdot 60\)

6. \(2{,}5 \cdot 3000 \cdot 0{,}0001 \cdot 4\)

Réponse

Réponses des exercices :

1. Exercice 1 : \(0{,}042\)
2. Exercice 2 : \(3{,}2\)
3. Exercice 3 : \(8\)
4. Exercice 4 : \(27\)
5. Exercice 5 : \(18\)
6. Exercice 6 : \(3\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices

Exercice 1

Énoncé :
Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul : \[ 0{,}07 \cdot 600 \cdot 0{,}001 \]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   \[ 0{,}07 = 7 \times 10^{-2} \] \[ 600 = 6 \times 10^{2} \] \[ 0{,}001 = 1 \times 10^{-3} \]

2. Remplacement dans le calcul :

   \[ 0{,}07 \cdot 600 \cdot 0{,}001 = (7 \times 10^{-2}) \times (6 \times 10^{2}) \times (1 \times 10^{-3}) \]

3. Multiplication des nombres :

   \[ 7 \times 6 \times 1 = 42 \]

4. Addition des exposants de 10 :

   \[ (-2) + 2 + (-3) = -3 \]

5. Résultat final :

   \[ 42 \times 10^{-3} = 0{,}042 \]

Réponse :
\[ 0{,}042 \]

---

Exercice 2

Énoncé :
Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul : \[ 40 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}1 \cdot 100 \]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   \[ 40 = 4 \times 10^{1} \] \[ 0{,}008 = 8 \times 10^{-3} \] \[ 0{,}1 = 1 \times 10^{-1} \] \[ 100 = 1 \times 10^{2} \]

2. Remplacement dans le calcul :

   \[ 40 \cdot 0{,}008 \cdot 0{,}1 \cdot 100 = (4 \times 10^{1}) \times (8 \times 10^{-3}) \times (1 \times 10^{-1}) \times (1 \times 10^{2}) \]

3. Multiplication des nombres :

   \[ 4 \times 8 \times 1 \times 1 = 32 \]

4. Addition des exposants de 10 :

   \[ 1 + (-3) + (-1) + 2 = -1 \]

5. Résultat final :

   \[ 32 \times 10^{-1} = 3{,}2 \]

Réponse :
\[ 3{,}2 \]

---

Exercice 3

Énoncé :
Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul : \[ 500 \cdot 0{,}8 \cdot 20 \cdot 0{,}001 \]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   \[ 500 = 5 \times 10^{2} \] \[ 0{,}8 = 8 \times 10^{-1} \] \[ 20 = 2 \times 10^{1} \] \[ 0{,}001 = 1 \times 10^{-3} \]

2. Remplacement dans le calcul :

   \[ 500 \cdot 0{,}8 \cdot 20 \cdot 0{,}001 = (5 \times 10^{2}) \times (8 \times 10^{-1}) \times (2 \times 10^{1}) \times (1 \times 10^{-3}) \]

3. Multiplication des nombres :

   \[ 5 \times 8 \times 2 \times 1 = 80 \]

4. Addition des exposants de 10 :

   \[ 2 + (-1) + 1 + (-3) = -1 \]

5. Résultat final :

   \[ 80 \times 10^{-1} = 8 \]

Réponse :
\[ 8 \]

---

Exercice 4

Énoncé :
Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul : \[ 0{,}3 \cdot 0{,}005 \cdot 900 \cdot 20 \]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   \[ 0{,}3 = 3 \times 10^{-1} \] \[ 0{,}005 = 5 \times 10^{-3} \] \[ 900 = 9 \times 10^{2} \] \[ 20 = 2 \times 10^{1} \]

2. Remplacement dans le calcul :

   \[ 0{,}3 \cdot 0{,}005 \cdot 900 \cdot 20 = (3 \times 10^{-1}) \times (5 \times 10^{-3}) \times (9 \times 10^{2}) \times (2 \times 10^{1}) \]

3. Multiplication des nombres :

   \[ 3 \times 5 \times 9 \times 2 = 270 \]

4. Addition des exposants de 10 :

   \[ (-1) + (-3) + 2 + 1 = -1 \]

5. Résultat final :

   \[ 270 \times 10^{-1} = 27 \]

Réponse :
\[ 27 \]

---

Exercice 5

Énoncé :
Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul : \[ 400 \cdot 0{,}003 \cdot 0{,}25 \cdot 60 \]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   \[ 400 = 4 \times 10^{2} \] \[ 0{,}003 = 3 \times 10^{-3} \] \[ 0{,}25 = 25 \times 10^{-2} \quad \text{(ou} \quad 2{,}5 \times 10^{-1} \text{)} \] \[ 60 = 6 \times 10^{1} \]

   (Utilisons la deuxième représentation pour simplifier)

   \[ 0{,}25 = 2{,}5 \times 10^{-1} \]

2. Remplacement dans le calcul :

   \[ 400 \cdot 0{,}003 \cdot 0{,}25 \cdot 60 = (4 \times 10^{2}) \times (3 \times 10^{-3}) \times (2{,}5 \times 10^{-1}) \times (6 \times 10^{1}) \]

3. Multiplication des nombres :

   \[ 4 \times 3 \times 2{,}5 \times 6 = 180 \]

4. Addition des exposants de 10 :

   \[ 2 + (-3) + (-1) + 1 = -1 \]

5. Résultat final :

   \[ 180 \times 10^{-1} = 18 \]

Réponse :
\[ 18 \]

---

Exercice 6

Énoncé :
Écrire à l’aide des puissances de 10 puis effectuer le calcul : \[ 2{,}5 \cdot 3000 \cdot 0{,}0001 \cdot 4 \]

Correction :

1. Écriture en puissances de 10 :

   \[ 2{,}5 = 2{,}5 \times 10^{0} \] \[ 3000 = 3 \times 10^{3} \] \[ 0{,}0001 = 1 \times 10^{-4} \] \[ 4 = 4 \times 10^{0} \]

2. Remplacement dans le calcul :

   \[ 2{,}5 \cdot 3000 \cdot 0{,}0001 \cdot 4 = (2{,}5 \times 10^{0}) \times (3 \times 10^{3}) \times (1 \times 10^{-4}) \times (4 \times 10^{0}) \]

3. Multiplication des nombres :

   \[ 2{,}5 \times 3 \times 1 \times 4 = 30 \]

4. Addition des exposants de 10 :

   \[ 0 + 3 + (-4) + 0 = -1 \]

5. Résultat final :

   \[ 30 \times 10^{-1} = 3 \]

Réponse :
\[ 3 \]

---