Exercice 53

Question : Indique si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Justifie ta réponse.

1. Est-ce que l’inverse de \(5^{2}\) est \(-5^{2}\) ?

2. Est-ce que \((-2)^{-4}\) est un nombre positif ?

3. Est-ce que \(6^{-3}\) est un nombre négatif ?

4. Est-ce que \(7^{-5}\) est le double de \(7^{-2}\) ?

Réponse

Résumé des corrections

1. Faux.

2. Vrai.

3. Faux.

4. Faux.

Corrigé détaillé

Correction des exercices

a. L’inverse de \(5^{2}\) est \(-5^{2}\).

Faux.

Justification :

Calculons \(5^{2}\) et \(-5^{2}\) :

\[ 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \] \[ -5^{2} = -(5 \times 5) = -25 \]

L’inverse d’un nombre \(x\) est \(\frac{1}{x}\). Donc, l’inverse de \(5^{2}\) est :

\[ \frac{1}{5^{2}} = \frac{1}{25} \]

Or, \(-5^{2} = -25\) n’est pas égal à \(\frac{1}{25}\). Donc, l’affirmation est fausse.

b. \((-2)^{-4}\) est un nombre positif.

Vrai.

Justification :

Pour calculer \((-2)^{-4}\), rappelons que \(x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}\). Ainsi :

\[ (-2)^{-4} = \frac{1}{(-2)^{4}} \]

Calculons \((-2)^{4}\) :

\[ (-2)^{4} = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16 \]

Donc :

\[ (-2)^{-4} = \frac{1}{16} \]

\(\frac{1}{16}\) est un nombre positif. Par conséquent, l’affirmation est vraie.

c. \(6^{-3}\) est un nombre négatif.

Faux.

Justification :

Calculons \(6^{-3}\) :

\[ 6^{-3} = \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{216} \]

\(\frac{1}{216}\) est un nombre positif. Ainsi, \(6^{-3}\) est un nombre positif, et non négatif. L’affirmation est donc fausse.

d. \(7^{-5}\) est le double de \(7^{-2}\).

Faux.

Justification :

Calculons \(7^{-5}\) et \(7^{-2}\) :

\[ 7^{-5} = \frac{1}{7^{5}} = \frac{1}{16807} \] \[ 7^{-2} = \frac{1}{7^{2}} = \frac{1}{49} \]

Vérifions si \(7^{-5}\) est le double de \(7^{-2}\) :

\[ 2 \times 7^{-2} = 2 \times \frac{1}{49} = \frac{2}{49} \]

Comparons avec \(7^{-5}\) :

\[ \frac{1}{16807} \neq \frac{2}{49} \]

Donc, \(7^{-5}\) n’est pas le double de \(7^{-2}\). L’affirmation est fausse.