Exercice 52
Effectuez les calculs suivants et réduisez le résultat :
- \(\left(3 a^{2}
b\right)^{2}\)
- \(\left(-7 x^{3}
y\right)^{2}\)
- \(\left(-2 a^{2} b
c\right)^{3}\)
- \(\left(-5 a
b^{3}\right)^{0}\)
- \(\left(3 w^{2}
z\right)^{4}\)
- \(\left(-2 x^{4}\right)^{6}\)
Réponse
Résumé des Résultats :
- \((3a^{2}b)^{2} =
9a^{4}b^{2}\)
- \((-7x^{3}y)^{2} =
49x^{6}y^{2}\)
- \((-2a^{2}bc)^{3} =
-8a^{6}b^{3}c^{3}\)
- \((-5ab^{3})^{0} = 1\)
- \((3w^{2}z)^{4} =
81w^{8}z^{4}\)
- \((-2x^{4})^{6} = 64x^{24}\)
Corrigé détaillé
Correction des Exercices
Nous allons résoudre chacun des calculs demandés en suivant les
règles des puissances et en simplifiant le résultat.
1) \(\left(3 a^{2}
b\right)^{2}\)
Étapes de résolution :
Appliquer la puissance à chaque facteur à l’intérieur des
parenthèses : \[
\left(3 a^{2} b\right)^{2} = 3^{2} \times \left(a^{2}\right)^{2} \times
b^{2}
\]
Calculer les puissances :
- \(3^{2} = 9\)
- \(\left(a^{2}\right)^{2} = a^{4}\)
(puisque \((a^{m})^{n} = a^{m \times
n}\))
- \(b^{2} = b^{2}\) (reste
inchangé)
Assembler les résultats : \[
9 \times a^{4} \times b^{2} = 9 a^{4} b^{2}
\]
Résultat :
\[
\boxed{9 a^{4} b^{2}}
\]
2) \(\left(-7 x^{3}
y\right)^{2}\)
Étapes de résolution :
Appliquer la puissance à chaque facteur à l’intérieur des
parenthèses : \[
\left(-7 x^{3} y\right)^{2} = (-7)^{2} \times \left(x^{3}\right)^{2}
\times y^{2}
\]
Calculer les puissances :
- \((-7)^{2} = 49\) (le carré d’un
nombre négatif est positif)
- \(\left(x^{3}\right)^{2} =
x^{6}\)
- \(y^{2} = y^{2}\)
Assembler les résultats : \[
49 \times x^{6} \times y^{2} = 49 x^{6} y^{2}
\]
Résultat :
\[
\boxed{49 x^{6} y^{2}}
\]
3) \(\left(-2
a^{2} b c\right)^{3}\)
Étapes de résolution :
Appliquer la puissance à chaque facteur à l’intérieur des
parenthèses : \[
\left(-2 a^{2} b c\right)^{3} = (-2)^{3} \times \left(a^{2}\right)^{3}
\times b^{3} \times c^{3}
\]
Calculer les puissances :
- \((-2)^{3} = -8\) (le cube d’un
nombre négatif reste négatif)
- \(\left(a^{2}\right)^{3} =
a^{6}\)
- \(b^{3} = b^{3}\)
- \(c^{3} = c^{3}\)
Assembler les résultats : \[
-8 \times a^{6} \times b^{3} \times c^{3} = -8 a^{6} b^{3} c^{3}
\]
Résultat :
\[
\boxed{-8 a^{6} b^{3} c^{3}}
\]
4) \(\left(-5 a
b^{3}\right)^{0}\)
Étapes de résolution :
- Appliquer la règle des puissances :
- Tout nombre (à l’exception de zéro) élevé à la puissance 0 est égal
à 1.
- Appliquer la règle : \[
\left(-5 a b^{3}\right)^{0} = 1
\]
Résultat :
\[
\boxed{1}
\]
5) \(\left(3 w^{2}
z\right)^{4}\)
Étapes de résolution :
Appliquer la puissance à chaque facteur à l’intérieur des
parenthèses : \[
\left(3 w^{2} z\right)^{4} = 3^{4} \times \left(w^{2}\right)^{4} \times
z^{4}
\]
Calculer les puissances :
- \(3^{4} = 81\)
- \(\left(w^{2}\right)^{4} =
w^{8}\)
- \(z^{4} = z^{4}\)
Assembler les résultats : \[
81 \times w^{8} \times z^{4} = 81 w^{8} z^{4}
\]
Résultat :
\[
\boxed{81 w^{8} z^{4}}
\]
6) \(\left(-2
x^{4}\right)^{6}\)
Étapes de résolution :
Appliquer la puissance à chaque facteur à l’intérieur des
parenthèses : \[
\left(-2 x^{4}\right)^{6} = (-2)^{6} \times \left(x^{4}\right)^{6}
\]
Calculer les puissances :
- \((-2)^{6} = 64\) (le puissance
paire d’un nombre négatif est positive)
- \(\left(x^{4}\right)^{6} =
x^{24}\)
Assembler les résultats : \[
64 \times x^{24} = 64 x^{24}
\]
Résultat :
\[
\boxed{64 x^{24}}
\]
Résumé des Résultats
- \(\left(3 a^{2} b\right)^{2} = 9 a^{4}
b^{2}\)
- \(\left(-7 x^{3} y\right)^{2} = 49 x^{6}
y^{2}\)
- \(\left(-2 a^{2} b c\right)^{3} = -8 a^{6}
b^{3} c^{3}\)
- \(\left(-5 a b^{3}\right)^{0} =
1\)
- \(\left(3 w^{2} z\right)^{4} = 81 w^{8}
z^{4}\)
- \(\left(-2 x^{4}\right)^{6} = 64
x^{24}\)