Calculez \(\sqrt[3]{6^{3}}\)
Calculez \(\sqrt[4]{6^{8}}\)
Calculez \(\sqrt[5]{3^{15}}\)
Calculez \(\sqrt{5^{3}} \cdot \sqrt{5^{5}}\)
Calculez \(\sqrt[3]{3^{4}} \cdot \sqrt[3]{3^{8}}\)
Calculez \(\sqrt[10]{10} \cdot \sqrt[10]{10^{9}}\)
Résumé des corrections :
\(\sqrt[3]{6^{3}} = 6\)
\(\sqrt[4]{6^{8}} = 36\)
\(\sqrt[5]{3^{15}} = 27\)
\(\sqrt{5^{3}} \cdot \sqrt{5^{5}} = 625\)
\(\sqrt[3]{3^{4}} \cdot \sqrt[3]{3^{8}} = 81\)
\(\sqrt[10]{10} \cdot \sqrt[10]{10^{9}} = 10\)
Correction :
Pour calculer \(\sqrt[3]{6^{3}}\), on peut utiliser la propriété des puissances et des racines.
Comprendre la racine cubique :
La racine cubique de \(a^3\) est simplement \(a\), car \((a)^3\) élevé à la puissance \(\frac{1}{3}\) donne \(a^{3 \times \frac{1}{3}} = a^1 = a\).
Appliquer la propriété :
\[ \sqrt[3]{6^{3}} = 6^{3 \times \frac{1}{3}} = 6^{1} = 6 \]
Réponse : \(6\)
Correction :
Pour calculer \(\sqrt[4]{6^{8}}\), nous utilisons la relation entre racines et puissances.
Exprimer la racine en exposant :
La racine quatrième de \(6^{8}\) s’écrit :
\[ \sqrt[4]{6^{8}} = 6^{8 \times \frac{1}{4}} = 6^{2} \]
Calculer la puissance :
\[ 6^{2} = 6 \times 6 = 36 \]
Réponse : \(36\)
Correction :
Pour évaluer \(\sqrt[5]{3^{15}}\), appliquons les propriétés des puissances et des racines.
Convertir la racine en exposant :
La racine cinquième de \(3^{15}\) devient :
\[ \sqrt[5]{3^{15}} = 3^{15 \times \frac{1}{5}} = 3^{3} \]
Calculer la puissance :
\[ 3^{3} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
Réponse : \(27\)
Correction :
Pour calculer le produit \(\sqrt{5^{3}} \cdot \sqrt{5^{5}}\), utilisons les propriétés des racines et des puissances.
Exprimer les racines en exposants :
\[ \sqrt{5^{3}} = 5^{3 \times \frac{1}{2}} = 5^{\frac{3}{2}} \]
\[ \sqrt{5^{5}} = 5^{5 \times \frac{1}{2}} = 5^{\frac{5}{2}} \]
Multiplier les puissances de même base :
Lorsque les bases sont identiques, on additionne les exposants :
\[ 5^{\frac{3}{2}} \cdot 5^{\frac{5}{2}} = 5^{\frac{3}{2} + \frac{5}{2}} = 5^{4} \]
Calculer la puissance finale :
\[ 5^{4} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625 \]
Réponse : \(625\)
Correction :
Pour évaluer le produit \(\sqrt[3]{3^{4}} \cdot \sqrt[3]{3^{8}}\), appliquons les propriétés des racines et des puissances.
Exprimer les racines en exposants :
\[ \sqrt[3]{3^{4}} = 3^{4 \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \]
\[ \sqrt[3]{3^{8}} = 3^{8 \times \frac{1}{3}} = 3^{\frac{8}{3}} \]
Multiplier les puissances de même base :
Ajouter les exposants :
\[ 3^{\frac{4}{3}} \cdot 3^{\frac{8}{3}} = 3^{\frac{4}{3} + \frac{8}{3}} = 3^{4} \]
Calculer la puissance finale :
\[ 3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 \]
Réponse : \(81\)
Correction :
Pour calculer le produit \(\sqrt[10]{10} \cdot \sqrt[10]{10^{9}}\), utilisons les propriétés des racines et des puissances.
Exprimer les racines en exposants :
\[ \sqrt[10]{10} = 10^{1 \times \frac{1}{10}} = 10^{\frac{1}{10}} \]
\[ \sqrt[10]{10^{9}} = 10^{9 \times \frac{1}{10}} = 10^{\frac{9}{10}} \]
Multiplier les puissances de même base :
Additionner les exposants :
\[ 10^{\frac{1}{10}} \cdot 10^{\frac{9}{10}} = 10^{\frac{1}{10} + \frac{9}{10}} = 10^{1} \]
Obtenir le résultat final :
\[ 10^{1} = 10 \]
Réponse : \(10\)