Exercice 47

Calculer les expressions suivantes :

  1. \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\)
  2. \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\)
  3. \((-1)^{24}\)
  4. \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}\)
  5. \((-30)^{4}\)
  6. \((0,2)^{3}\)

Réponse

Réponses
  1. \(\dfrac{4}{9}\)
  2. \(\dfrac{1}{16}\)
  3. \(1\)
  4. \(\dfrac{243}{32}\)
  5. \(810\,000\)
  6. \(0,008\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices
1) Calcul de \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\)

Pour calculer \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2}\), on doit élever le nombre \(\left(-\dfrac{2}{3}\right)\) au carré, c’est-à-dire le multiplier par lui-même.

\[ \left(-\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \left(-\dfrac{2}{3}\right) \times \left(-\dfrac{2}{3}\right) \]

Multipliant les numérateurs et les dénominateurs :

\[ = \dfrac{(-2) \times (-2)}{3 \times 3} = \dfrac{4}{9} \]

Réponse : \(\dfrac{4}{9}\)


2) Calcul de \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4}\)

Pour élever \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\) à la puissance 4, on multiplie \(\left(\dfrac{1}{2}\right)\) par lui-même quatre fois :

\[ \left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \]

Calculons étape par étape :

\[ = \dfrac{1 \times 1 \times 1 \times 1}{2 \times 2 \times 2 \times 2} = \dfrac{1}{16} \]

Réponse : \(\dfrac{1}{16}\)


3) Calcul de \((-1)^{24}\)

Quand on élève \(-1\) à une puissance paire, le résultat est toujours positif.

\[ (-1)^{24} = [(-1)^{2}]^{12} = 1^{12} = 1 \]

Réponse : \(1\)


4) Calcul de \(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{5}\)

Pour élever \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\) à la puissance 5, multiplions \(\left(\dfrac{3}{2}\right)\) par lui-même cinq fois.

\[ \left(\dfrac{3}{2}\right)^{5} = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \times \dfrac{3}{2} \]

Multipliant les numérateurs et les dénominateurs :

\[ = \dfrac{3^5}{2^5} = \dfrac{243}{32} \]

Réponse : \(\dfrac{243}{32}\)


5) Calcul de \((-30)^{4}\)

Élever \(-30\) à la puissance 4 revient à multiplier \(-30\) par lui-même quatre fois.

\[ (-30)^{4} = (-30) \times (-30) \times (-30) \times (-30) \]

Comme on multiplie un nombre négatif un nombre pair de fois, le résultat est positif :

\[ = 30^4 = 810\,000 \]

Réponse : \(810\,000\)


6) Calcul de \((0,2)^{3}\)

Pour élever \(0,2\) à la puissance 3, on multiplie \(0,2\) par lui-même trois fois.

\[ (0,2)^{3} = 0,2 \times 0,2 \times 0,2 \]

Calculons :

\[ 0,2 \times 0,2 = 0,04 \] \[ 0,04 \times 0,2 = 0,008 \]

Réponse : \(0,008\)

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