Exercice 46

Question: Pour chaque calcul ci-dessous, donne le résultat sous la forme \(a^{n}\) si possible.

  1. \(6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 =\)

  2. \(12^{5} \div 12^{2} =\)

  3. \(11^{3} + 11^{3} =\)

  4. \(3^{4} \times 4^{4} =\)

  5. \(\left(5^{3}\right)^{2} =\)

  6. \(3^{10} \times 3^{5} =\)

Réponse

Réponses : a) 6^2, b) 12^3, c) 2 × 11^3, d) 12^4, e) 5^6, f) 3^15.

Corrigé détaillé

Nous allons traiter chaque calcul étape par étape en expliquant la démarche.

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Exercice a)
Calcul : 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6

  1. On remarque que le nombre 6 est ajouté 6 fois.
  2. On peut ainsi écrire cette somme sous la forme 6 × 6.
  3. Le produit 6 × 6 se note aussi 6^2, car 6 multiplié par lui-même une fois (6^2 signifie 6×6).

Réponse a) : 6^2

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Exercice b)
Calcul : 12^5 ÷ 12^2

  1. Lorsque l’on divise deux puissances de même base, on soustrait les exposants.
  2. On applique la règle : a^m ÷ a^n = a^(m – n).
  3. Ici, la base est 12, m = 5 et n = 2.
    Ainsi, 12^5 ÷ 12^2 = 12^(5 – 2) = 12^3.

Réponse b) : 12^3

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Exercice c)
Calcul : 11^3 + 11^3

  1. On a deux fois la même quantité, ici 11^3.
  2. Une addition de deux fois 11^3 s’écrit sous la forme : 2 × 11^3.
  3. Le résultat étant le produit d’un coefficient multiplicateur (2) et de 11^3, il n’est pas possible de l’exprimer uniquement sous la forme a^n avec a unique.
    On laisse donc le résultat sous la forme 2 × 11^3.

Réponse c) : 2 × 11^3

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Exercice d)
Calcul : 3^4 × 4^4

  1. On remarque que les deux puissances ont le même exposant (4).
  2. On peut alors utiliser la propriété : a^n × b^n = (a × b)^n.
  3. Ici, a = 3 et b = 4, donc 3^4 × 4^4 = (3 × 4)^4 = 12^4.

Réponse d) : 12^4

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Exercice e)
Calcul : (53)2

  1. Lorsqu’on a une puissance élevée à une autre puissance, on multiplie les exposants.
  2. La propriété est : (am)n = a^(m × n).
  3. Ici, a = 5, m = 3 et n = 2, ainsi (53)2 = 5^(3 × 2) = 5^6.

Réponse e) : 5^6

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Exercice f)
Calcul : 3^10 × 3^5

  1. Les deux puissances ont la même base (3). En multipliant des puissances de même base, on additionne les exposants.
  2. La règle est : a^m × a^n = a^(m + n).
  3. Ici, m = 10 et n = 5, donc 3^10 × 3^5 = 3^(10 + 5) = 3^15.

Réponse f) : 3^15

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Ainsi, les réponses aux différents calculs sont :
a) 6^2
b) 12^3
c) 2 × 11^3
d) 12^4
e) 5^6
f) 3^15

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