Exercice 45

Question : À quelle puissance faut-il élever \(3^{3}\) pour obtenir \(9^{9}\) ? Explique ta réponse.

Réponse attendue :

Pour trouver la puissance \(x\) telle que \((3^{3})^{x} = 9^{9}\), procédons de la manière suivante :

1. Exprimer 9 en base 3 : \(9 = 3^{2}\), donc \(9^{9} = (3^{2})^{9} = 3^{18}\).

2. Appliquer la propriété des puissances : \((3^{3})^{x} = 3^{3x}\).

3. Établir l’égalité des puissances de 3 : \(3^{3x} = 3^{18}\).

4. Comparer les exposants : \(3x = 18\).

5. Résoudre pour \(x\) : \(x = \frac{18}{3} = 6\).

Donc, il faut élever \(3^{3}\) à la puissance 6 pour obtenir \(9^{9}\).

Réponse

La solution de l’équation (3³)ˣ = 9⁹ est x = 6.

Corrigé détaillé

Pour résoudre l’exercice, il faut trouver la valeur de x telle que :

  (3³)ˣ = 9⁹

Voici les étapes détaillées pour y parvenir :

1. Décomposer 9 en puissance de 3
     On sait que 9 = 3².
     On peut réécrire 9⁹ en utilisant cette égalité :
       9⁹ = (3²)⁹.

2. Utiliser la propriété des puissances
     La propriété (aᵇ)ᶜ = a^(b×c) permet d’écrire :
       (3²)⁹ = 3^(2×9) = 3¹⁸.

3. Réécrire le membre de gauche
     On a (3³)ˣ. En utilisant encore la propriété des puissances, cela s’écrit :
       (3³)ˣ = 3^(3×x) = 3^(3x).

4. Mettre en égalité les deux membres
     On a donc l’équation :
       3^(3x) = 3^(18).
     Comme la base 3 est la même et non nulle, cela implique nécessairement que les exposants sont égaux :
       3x = 18.

5. Résoudre l’équation pour x
     Pour trouver x, on divise par 3 :
       x = 18 / 3 = 6.

Conclusion :
Il faut élever 3³ à la puissance 6 pour obtenir 9⁹.
C’est-à-dire, (3³)⁶ = 9⁹.