Exercice 44

Aucune valeur de \(x\) ne satisfait les inéquations suivantes. Expliquez pourquoi.

  1. \(x^{4} < 0\)

  2. \(2x^{2} + x^{4} + x^{6} + 8 < 8\)

  3. \(-x^{2} + 2 > 2\)

  4. \(x^{2} + 2 < 2\)

Réponse

Aucune des inéquations n’a de solution réelle, car les expressions sont toujours positives ou nulles.

Corrigé détaillé

Correction des inéquations

Nous allons examiner chacune des inéquations données pour comprendre pourquoi aucune valeur de \(x\) ne les satisfait.


1) \(x^{4} < 0\)

Étape 1 : Comprendre la nature de \(x^{4}\)

Le terme \(x^{4}\) représente \(x\) élevé à la puissance 4. Quel que soit le nombre réel \(x\), \(x^{4}\) est toujours positif ou égal à zéro.

Étape 2 : Analyser l’inéquation

L’inéquation \(x^{4} < 0\) cherche des valeurs de \(x\) telles que \(x^{4}\) soit négatif.

Conclusion :

Comme \(x^{4}\) ne peut jamais être négatif pour un nombre réel \(x\), il n’existe aucune valeur de \(x\) qui satisfait l’inéquation \(x^{4} < 0\).


2) \(2x^{2} + x^{4} + x^{6} + 8 < 8\)

Étape 1 : Simplifier l’inéquation

Soustrayons 8 des deux côtés de l’inéquation :

\[ 2x^{2} + x^{4} + x^{6} + 8 - 8 < 8 - 8 \\ 2x^{2} + x^{4} + x^{6} < 0 \]

Étape 2 : Analyser les termes

Les termes \(2x^{2}\), \(x^{4}\) et \(x^{6}\) sont tous des puissances paires de \(x\), ce qui les rend toujours positifs ou égaux à zéro pour tout nombre réel \(x\).

Étape 3 : Somme des termes positifs

La somme de termes positifs ou nuls est également positive ou égale à zéro. Donc :

\[ 2x^{2} + x^{4} + x^{6} \geq 0 \]

Conclusion :

Il est impossible que \(2x^{2} + x^{4} + x^{6} < 0\). Par conséquent, aucune valeur de \(x\) ne satisfait l’inéquation initiale.


3) \(-x^{2} + 2 > 2\)

Étape 1 : Simplifier l’inéquation

Soustrayons 2 des deux côtés :

\[ -x^{2} + 2 - 2 > 2 - 2 \\ -x^{2} > 0 \]

Étape 2 : Isoler \(x^{2}\)

Multiplions les deux côtés de l’inéquation par -1. N’oublions pas que multiplier ou diviser une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité :

\[ x^{2} < 0 \]

Étape 3 : Analyser \(x^{2}\)

Le terme \(x^{2}\) est toujours positif ou égal à zéro pour tout nombre réel \(x\).

Conclusion :

Comme \(x^{2}\) ne peut jamais être négatif, il n’existe aucune valeur de \(x\) qui rend \(x^{2} < 0\) vrai. Donc, l’inéquation \(-x^{2} + 2 > 2\) n’a pas de solution.


4) \(x^{2} + 2 < 2\)

Étape 1 : Simplifier l’inéquation

Soustrayons 2 des deux côtés :

\[ x^{2} + 2 - 2 < 2 - 2 \\ x^{2} < 0 \]

Étape 2 : Analyser \(x^{2}\)

Le terme \(x^{2}\) est toujours positif ou égal à zéro pour tout nombre réel \(x\).

Conclusion :

Comme \(x^{2}\) ne peut jamais être négatif, il n’existe aucune valeur de \(x\) qui satisfait l’inéquation \(x^{2} < 0\). Ainsi, l’inéquation \(x^{2} + 2 < 2\) n’a pas de solution.


Résumé

Dans toutes ces inéquations, nous avons constaté que des expressions comme \(x^{4}\), \(x^{6}\), ou \(x^{2}\) sont toujours positives ou égales à zéro. Par conséquent, certaines inéquations les comparant à des valeurs négatives ou cherchant à les rendre inférieures à zéro n’ont aucune solution réelle.

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