Exercice 43

Calculer astucieusement lorsque c’est possible

  1. \(\sqrt{25 + 16} =\)

  2. \(\sqrt{\dfrac{49}{25}} =\)

  3. \(\sqrt{25 \times 16} =\)

  4. \(\dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{192}} =\)

  5. \(\sqrt{2025} =\)

  6. \(\dfrac{4 \sqrt{18}}{\sqrt{2}} =\)

  7. \(\sqrt{0{,}64} =\)

  8. \(\sqrt[3]{64 \times 343} =\)

  9. \(\sqrt{45} + \sqrt{5} =\)

  10. \(\sqrt{30} \times \sqrt{75} =\)

  11. \(\sqrt{196 - 81} =\)

  12. \(\dfrac{\sqrt{50}}{10 \sqrt{2}} =\)

Calcul mentalement

    1. \(7^{2} + 3^{2} =\)

    2. \(\sqrt{3600} =\)

    3. \(\sqrt{81 + 19} =\)

    4. \(3 \times 6^{3} \times 3^{2} \times 2^{3} =\)

    5. \((\sqrt{14 \times 6})^{2} =\)

    6. \(\sqrt[3]{125 \times 512} =\)

    7. \(\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{162}} =\)

    8. \(\sqrt{4} \times \sqrt{64} =\)

  2. Donner le résultat en notation scientifique.

    1. \(0,000045 \times 8\,000\,000 =\)

    2. \(30 \times 10^{5} + 7 \times 10^{6} =\)

    3. \(\dfrac{54 \times 10^{7}}{10^{-4} \times 6} =\)

  3. Combien y a-t-il d’atomes d’argent dans un gramme d’argent pur sachant que la masse d’un atome est de \(1{,}7918 \times 10^{-25}\ \mathrm{kg}\) ?

Probabilités

  1. Quelle est la probabilité de :

    1. Obtenir un nombre impair en lançant un dé conventionnel à six faces ?

    2. Sélectionner une fille en tirant un nom dans une liste comprenant douze filles et huit garçons ?

    3. Tirer une boule bleue dans un sac contenant des boules bleues, vertes et jaunes ?

  2. Peut-on prédire avec certitude si, en lançant un dé, il va montrer un nombre supérieur à quatre ?

  3. Une école organise une kermesse avec différentes activités. Les propositions sont les suivantes :

    Jeux

    • Lancer d’anneaux
    • Course en sac

    Attractions

    • Grande roue
    • Maison hantée
    • Carrousel

    Snacks

    • Popcorn
    • Glace
    • Sucettes

    Sachant qu’un participant choisit une activité, une attraction et un snack, combien de combinaisons différentes est-il possible de composer à partir de ces propositions ?

Réponse

I. Calculs astucieux  a) √41  b) 7/5  c) 20  d) 1/4
 e) 45   f) 12   g) 0,8  h) 28
 i) 4√5  j) 15√10 k) √115 l) 1/2

  1. Calcul mental  a) 58  b) 60  c) 10  d) 46 656
     e) 84  f) 40  g) 1/3  h) 16

  2. Notation scientifique  a) 3,6 × 10²  b) 1,0 × 10⁷  c) 9 × 10¹¹

  3. Nombre d’atomes d’argent  Environ 5,58 × 10²¹ atomes

V. Probabilités  1a) 1/2  1b) 3/5  1c) (nombre de boules bleues)/(nombre total de boules)
 2) Non (le résultat reste aléatoire)
 3) 18 combinaisons

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque partie de l’exercice en expliquant pas à pas les raisonnements et calculs.

──────────────────────── I – Calculer astucieusement lorsque c’est possible

  1. √(25 + 16)
     • On commence par additionner 25 et 16.
      25 + 16 = 41
     • On écrit ensuite √41.
      Réponse : √41

──────────────────────── b) √(49/25)
 • La propriété de la racine d’un quotient nous permet d’écrire :
  √(49/25) = √49 / √25
 • Calculons chaque racine :
  √49 = 7 et √25 = 5
 • Le résultat est donc :
  7/5
  Réponse : 7/5

──────────────────────── c) √(25 × 16)
 • On utilise la propriété : √(a × b) = √a × √b
 • Ici, √25 = 5 et √16 = 4.
 • On a alors :
  5 × 4 = 20
  Réponse : 20

──────────────────────── d) (√12) / (√192)
 • Regroupons la fraction sous une seule racine :
  (√12)/(√192) = √(12/192)
 • Simplifions la fraction 12/192. Divisons numérateur et dénominateur par 12 :
  12 ÷ 12 = 1 et 192 ÷ 12 = 16
 • On obtient :
  √(1/16) = 1/4
  Réponse : 1/4

──────────────────────── e) √2025
 • On reconnaît que 2025 est un carré parfait. En effet,
  45² = 2025
 • Ainsi, √2025 = 45
  Réponse : 45

──────────────────────── f) (4 √18) / (√2)
 • On écrit le quotient sous la forme d’une seule racine :
  (4 √18)/(√2) = 4 × √(18/2)
 • Simplifions 18/2 :
  18/2 = 9
 • On a donc :
  4 × √9 = 4 × 3 = 12
  Réponse : 12

──────────────────────── g) √(0,64)
 • On peut écrire 0,64 sous forme de fraction décimale :
  0,64 = 64/100
 • La racine carrée devient :
  √(64/100) = √64 / √100 = 8/10
 • En simplifiant :
  8/10 = 0,8
  Réponse : 0,8

──────────────────────── h) ∛(64 × 343)
 • Remarquons que 64 et 343 sont des cubes parfaits :
  64 = 4³ et 343 = 7³
 • Leur produit s’écrit alors :
  64 × 343 = 4³ × 7³ = (4 × 7)³ = 28³
 • La racine cubique de 28³ donne :
  ∛(28³) = 28
  Réponse : 28

──────────────────────── i) √45 + √5
 • Pour simplifier √45, on décompose 45 = 9 × 5 :
  √45 = √9 × √5 = 3 √5
 • Ainsi,
  3 √5 + √5 = (3 + 1)√5 = 4 √5
  Réponse : 4 √5

──────────────────────── j) √30 × √75
 • On regroupe les racines sous une seule racine :
  √30 × √75 = √(30 × 75)
 • Calculons 30 × 75 :
  30 × 75 = 2250
 • On cherche à simplifier √2250. On remarque que 2250 = 225 × 10 puisque 225 est un carré parfait (15²) :
  √2250 = √(225 × 10) = √225 × √10 = 15√10
  Réponse : 15√10

──────────────────────── k) √(196 – 81)
 • D’abord, effectuons la soustraction dans le radicande :
  196 – 81 = 115
 • Le résultat devient :
  √115
 • Comme 115 ne se simplifie pas en produit d’un carré parfait et un autre nombre, on laisse sous cette forme.
  Réponse : √115

──────────────────────── l) (√50) / (10 √2)
 • Simplifions √50. On décompose 50 = 25 × 2 :
  √50 = √25 × √2 = 5√2
 • Remplaçons dans l’expression :
  (5√2) / (10√2)
 • Le √2 se simplifie :
  = 5/10 = 1/2
  Réponse : 1/2

──────────────────────── II – Calcul mentalement

    1. 7² + 3²
       • Calcul de 7² = 49 et 3² = 9
       • Somme : 49 + 9 = 58
        Réponse : 58

──────────────────────── b) √3600
 • Puisque 60² = 3600, on a
  √3600 = 60
  Réponse : 60

──────────────────────── c) √(81 + 19)
 • Effectuons d’abord l’addition à l’intérieur de la racine :
  81 + 19 = 100
 • La racine carrée de 100 est :
  √100 = 10
  Réponse : 10

──────────────────────── d) 3 × 6³ × 3² × 2³
 • Calculons chaque puissance :
  6³ = 216
  3² = 9
  2³ = 8
 • Multiplions ensuite :
  3 × 216 = 648
  648 × 9 = 5832
  5832 × 8 = 46656
  Réponse : 46656

──────────────────────── e) (√(14 × 6))²
 • Le carré d’une racine carrée annule la racine :
  (√(14 × 6))² = 14 × 6
 • Calculons :
  14 × 6 = 84
  Réponse : 84

──────────────────────── f) ∛(125 × 512)
 • Reconnaissons que 125 = 5³ et 512 = 8³.
 • Leur produit :
  125 × 512 = 5³ × 8³ = (5 × 8)³ = 40³
 • Donc,
  ∛(40³) = 40
  Réponse : 40

──────────────────────── g) (√18) / (√162)
 • Mêmes racines dans le numérateur et le dénominateur peuvent être regroupées :
  (√18)/(√162) = √(18/162)
 • Simplifions 18/162. Divisons numérateur et dénominateur par 18 :
  18 ÷ 18 = 1 et 162 ÷ 18 = 9
 • Ainsi,
  √(1/9) = 1/3
  Réponse : 1/3

──────────────────────── h) √4 × √64
 • On regroupe les deux racines en une seule :
  √4 × √64 = √(4 × 64) = √256
 • Puisque 16² = 256,
  √256 = 16
  Réponse : 16

──────────────────────── III – Donner le résultat en notation scientifique

    1. 0,000045 × 8 000 000
       • On peut écrire 0,000045 comme 4,5 × 10⁻⁵ et 8 000 000 comme 8 × 10⁶.
       • Le produit s’effectue en multipliant les nombres et en ajoutant les exposants :
        4,5 × 8 = 36
        10⁻⁵ × 10⁶ = 10^(–5+6) = 10¹
       • On obtient ainsi : 36 × 10¹
       • Pour avoir une écriture scientifique normale, on écrit 36 × 10¹ = 3,6 × 10²
        Réponse : 3,6 × 10²

──────────────────────── b) 30 × 10⁵ + 7 × 10⁶
 • Exprimons 30 × 10⁵ sous la forme de 10⁶ :
  30 × 10⁵ = 3,0 × 10⁶
 • La somme devient :
  3,0 × 10⁶ + 7 × 10⁶ = (3,0 + 7) × 10⁶ = 10 × 10⁶
 • On écrit ensuite 10 × 10⁶ en notation scientifique :
  10 × 10⁶ = 1,0 × 10⁷
  Réponse : 1,0 × 10⁷

──────────────────────── c) (54 × 10⁷) / (10^(–4) × 6)
 • Regroupons d’abord les coefficients et les puissances de 10 séparément.
 • Les coefficients : 54 ÷ 6 = 9
 • Pour les puissances de 10 : 10⁷ ÷ 10^(–4) = 10^(7 – (–4)) = 10^(7+4) = 10¹¹
 • On obtient alors :
  9 × 10¹¹
  Réponse : 9 × 10¹¹

──────────────────────── IV – Problème sur le nombre d’atomes

  1. Combien y a-t-il d’atomes d’argent dans un gramme d’argent pur sachant que la masse d’un atome est de 1,7918 × 10⁻²⁵ kg ?

 • Tout d’abord, rappelons que 1 gramme = 0,001 kg
 • On calcule le nombre d’atomes en divisant la masse totale par la masse d’un atome :
  Nombre d’atomes = 0,001 kg ÷ (1,7918 × 10⁻²⁵ kg)
 • On écrit 0,001 kg comme 1 × 10⁻³ kg. Ainsi :
  Nombre d’atomes = (1 × 10⁻³) / (1,7918 × 10⁻²⁵)
 • Pour diviser, on divise d’abord les nombres puis on soustrait les exposants :
  1 ÷ 1,7918 ≈ 0,558
  Exposant : (–3) – (–25) = 22
 • Le résultat est environ :
  0,558 × 10²²
 • On écrit en notation scientifique en décalant la virgule :
  0,558 × 10²² = 5,58 × 10²¹
  Réponse : environ 5,58 × 10²¹ atomes

──────────────────────── V – Probabilités

    1. Obtenir un nombre impair en lançant un dé conventionnel à six faces
       • Les nombres impairs sur un dé sont 1, 3 et 5, soit 3 issues favorables.
       • Le nombre total d’issues possibles est 6.
       • La probabilité est :
        3/6 = 1/2
        Réponse : 1/2

──────────────────────── b) Sélectionner une fille dans une liste comprenant douze filles et huit garçons
 • Le nombre total d’élèves est 12 + 8 = 20
 • Le nombre de filles est 12.
 • La probabilité de tirer un nom de fille est donc :
  12/20 = 3/5 après simplification
  Réponse : 3/5

──────────────────────── c) Tirer une boule bleue dans un sac contenant des boules bleues, vertes et jaunes
 • Sans donner le nombre précis de boules de chaque couleur, on ne peut déterminer numériquement la probabilité.
 • La réponse générale est :
  Probabilité = (nombre de boules bleues)/(nombre total de boules)
  Réponse : (nombre de boules bleues)/(nombre total de boules)

──────────────────────── 2. Peut-on prédire avec certitude si, en lançant un dé, il va montrer un nombre supérieur à quatre ?
 • Les nombres supérieurs à quatre sur un dé conventionnel sont 5 et 6.
 • Il y a 2 issues favorables sur 6 possibilités, ce qui donne une probabilité de 2/6 = 1/3.
 • Puisqu’il s’agit d’un jeu de hasard, on ne peut pas prédire avec certitude le résultat d’un lancer.
  Réponse : Non, on ne peut pas prédire avec certitude.

──────────────────────── 3. Combien de combinaisons différentes est-il possible de composer lors de la kermesse ?
 • L’activité est composée de 3 choix différents :
  – Une activité parmi les Jeux : Lancer d’anneaux ou Course en sac → 2 possibilités
  – Une attraction parmi les Attractions : Grande roue, Maison hantée, Carrousel → 3 possibilités
  – Un snack parmi les Snacks : Popcorn, Glace, Sucettes → 3 possibilités
 • Le nombre total de combinaisons est le produit des possibilités de chaque catégorie :
  2 × 3 × 3 = 18
  Réponse : 18 combinaisons

──────────────────────── Ainsi, la correction complète et détaillée de chaque partie de l’exercice est donnée ci-dessus.

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