\(0,\overline{6}\) \(4 - \frac{1}{6}\)
\(\frac{14}{14}\) \(1\)
\(\frac{2}{7}\) \(0,\overline{2}\)
\(0,\overline{8}\) \(1\)
\(2^{5} - 2^{3} =\)
\(\sqrt{144} =\)
\((-5)^{2} =\)
\(\sqrt{-16} =\)
\(\left(\frac{4}{7}\right)^{2} =\)
\(\sqrt[3]{-64} =\)
\(10^{-3} =\)
\(10^{5} \cdot 10^{-2} =\)
\(4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 =\)
\(6^{5} \cdot 6^{3} =\)
\((-2)^{3} + (-2)^{3} =\)
\(2^{6} \cdot 3^{6} =\)
\(15^{7} \div 15^{2} =\)
\(\left(10^{3}\right)^{4} =\)
\(76\,500\,000 =\)
\(92 \cdot 10^{6} =\)
\(-250\,000\,000 =\)
\(0,000045 =\)
Réponses :
Partie I : a) 0,overline{6} ≠ 4 – 1⁄6
b) 14⁄14 = 1
c) 2⁄7 ≠ 0,overline{2}
d) 0,overline{8} ≠ 1
Partie II : 1. a) 24 b) 12 c) 25 d) Pas défini dans ℝ e) 16⁄49 f)
–4 g) 1⁄1000 h) 10³
2. a) 6 × 4 b) 6⁸ c) 2 × (–2)³ d) 6⁶ e) 15⁵ f) 10¹²
3. a) 7,65 × 10⁷ b) 9,2 × 10⁷ c) –2,5 × 10⁸ d) 4,5 × 10^(–5)
4. 6,0 × 10⁵.
Nous allons réaliser chacune des parties de l’exercice en expliquant chaque étape de la résolution. L’objectif est de bien comprendre le raisonnement derrière chaque calcul ou justification.
──────────────────────── Partie I – Complète avec le signe “=” ou “≠”
Nous devons comparer deux expressions et décider si elles sont égales ou différentes.
──────────────────────── a) 0,overline{6} et 4 – 1⁄6
• 0,overline{6} représente le nombre décimal 0,6666… (le 6 se répète à l’infini). On peut remarquer que 0,6666… correspond à la fraction 2⁄3.
• Pour 4 – 1⁄6, on écrit 4 sous forme de fraction de dénominateur 6 : 4 = 24⁄6 donc 24⁄6 – 1⁄6 = 23⁄6.
• Comparaison : 2⁄3 ≈ 0,666… et 23⁄6 ≈ 3,833… Les deux nombres sont différents.
Réponse : 0,overline{6} ≠ 4 – 1⁄6.
──────────────────────── b) 14⁄14 et 1
• Une fraction où le numérateur et le dénominateur sont identiques (14⁄14) se simplifie en 1 (car tout nombre divisé par lui-même est égal à 1).
Réponse : 14⁄14 = 1.
──────────────────────── c) 2⁄7 et 0,overline{2}
• 2⁄7, lorsqu’on le convertit en décimal, donne environ 0,285714… (une suite décimale périodique avec une période différente de celle du deuxième nombre).
• 0,overline{2} signifie 0,2222… (le 2 se répète).
Comme 0,285714… ≠ 0,2222…, les deux nombres ne sont pas égaux.
Réponse : 2⁄7 ≠ 0,overline{2}.
──────────────────────── d) 0,overline{8} et 1
• 0,overline{8} correspond à 0,8888… soit environ 0,89. On peut aussi le voir comme la fraction 8⁄9 puisque 8 ÷ 9 ≈ 0,8888…
• Le nombre 1 est égal à 1.
Or, 0,8888… ≠ 1.
Réponse : 0,overline{8} ≠ 1.
──────────────────────── Partie II
La suite de l’exercice comporte plusieurs sections. Nous allons traiter chacune d’entre elles en donnant le détail des calculs.
──────────────────────── 1. Calcule.
Réponse : 24.
──────────────────────── b) √144
• On cherche un nombre dont le carré est 144.
• 12 × 12 = 144.
Réponse : 12.
──────────────────────── c) (–5)²
• Le carré d’un nombre négatif est positif (parce que (–5) × (–5) =
25).
Réponse : 25.
──────────────────────── d) √(–16)
• La racine carrée d’un nombre négatif n’appartient pas à l’ensemble
des nombres réels.
• On indique alors que ce calcul n’a pas de résultat dans ℝ.
(Remarque : Dans le domaine des nombres complexes, √(–16) se note 4i,
mais ici nous restons dans ℝ.)
Réponse : Pas défini dans ℝ.
──────────────────────── e) (4⁄7)²
• On élève le numérateur et le dénominateur au carré :
(4)² = 16 et (7)² = 49.
• Donc, (4⁄7)² = 16⁄49.
Réponse : 16⁄49.
──────────────────────── f) ∛(–64)
• La racine cubique d’un nombre négatif est négative (car (–4)³ =
–64).
• Ainsi, ∛(–64) = –4.
Réponse : –4.
──────────────────────── g) 10^(–3)
• Une puissance négative indique l’inverse de la puissance positive
:
10^(–3) = 1⁄10³ = 1⁄1000.
• En décimal, cela s’écrit 0,001.
Réponse : 1⁄1000 (ou 0,001).
──────────────────────── h) 10⁵ × 10^(–2)
• Règle des puissances : on additionne les exposants lorsque la base
est la même.
5 + (–2) = 3, donc 10³.
• 10³ = 1000.
Réponse : 10³ (ou 1000).
──────────────────────── 2. Écris, si possible, sous forme d’une puissance.
Réponse : 6 × 4.
──────────────────────── b) 6⁵ × 6³
• Même base → on additionne les exposants : 5 + 3 = 8.
• On obtient : 6⁸.
Réponse : 6⁸.
──────────────────────── c) (–2)³ + (–2)³
• On a deux fois (–2)³, ce qui s’écrit : 2 × (–2)³.
• (–2)³ = –8, donc 2 × (–8) = –16.
• On préfère souvent laisser le résultat sous la forme de 2 × (–2)³
pour montrer l’opération en puissance.
Réponse : 2 × (–2)³ (ce qui équivaut à –16).
──────────────────────── d) 2⁶ × 3⁶
• On remarque que les deux facteurs sont élevés à la même
puissance.
• On peut écrire : (2 × 3)⁶ = 6⁶.
Réponse : 6⁶.
──────────────────────── e) 15⁷ ÷ 15²
• Pour une division de puissances de même base, on soustrait les
exposants : 7 – 2 = 5.
• On obtient : 15⁵.
Réponse : 15⁵.
──────────────────────── f) (10³)⁴
• Pour une puissance d’une puissance, on multiplie les exposants : 3 ×
4 = 12.
• On obtient : 10¹².
Réponse : 10¹².
──────────────────────── 3. Écris en notation scientifique.
Rappel : En notation scientifique, on écrit un nombre sous la forme a × 10^n avec 1 ≤ a < 10.
Réponse : 7,65 × 10⁷.
──────────────────────── b) 92 × 10⁶
• Le nombre 92 n’est pas compris entre 1 et 10.
• On écrit 92 = 9,2 × 10¹, ainsi : 92 × 10⁶ = (9,2 × 10¹) × 10⁶ = 9,2 ×
10^(1+6) = 9,2 × 10⁷.
Réponse : 9,2 × 10⁷.
──────────────────────── c) –250 000 000
• On écrit la partie numérique : 250 000 000 = 2,5 × 10⁸.
• En tenant compte du signe négatif : –2,5 × 10⁸.
Réponse : –2,5 × 10⁸.
──────────────────────── d) 0,000045
• On cherche à obtenir un nombre entre 1 et 10.
• 0,000045 = 4,5 × 0,00001 = 4,5 × 10^(–5).
Réponse : 4,5 × 10^(–5).
──────────────────────── 4. Problème : Une étudiante boit plus de 8 000 verres d’eau par an. Combien de verres d’eau boira-t-elle en 75 ans ? (Réponse en notation scientifique)
• On part du nombre de 8 000 verres par an.
• Sur 75 ans, on calcule : 8 000 × 75. 8 000 = 8 × 10³.
Donc, 8 × 10³ × 75 = (8 × 75) × 10³ = 600 × 10³. Pour respecter la
notation scientifique (le premier nombre doit être entre 1 et 10), on
écrit 600 = 6,0 × 10². Ainsi, 600 × 10³ = 6,0 × 10² × 10³ = 6,0 ×
10^(2+3) = 6,0 × 10⁵.
Réponse : 6,0 × 10⁵.
──────────────────────── Récapitulatif des réponses :
Partie I – Comparaisons
a) 0,overline{6} ≠ 4 – 1⁄6
b) 14⁄14 = 1
c) 2⁄7 ≠ 0,overline{2}
d) 0,overline{8} ≠ 1
Partie II – Que sais-je ?
1. a) 24
b) 12
c) 25
d) Pas défini dans ℝ
e) 16⁄49
f) –4
g) 1⁄1000 (ou 0,001)
h) 10³ (ou 1000)
Chaque étape a été détaillée pour clarifier la méthode utilisée. Ce travail de correction permet de revoir les propriétés des fractionnaires, puissances, racines et la notation scientifique.