Exercice 41

Question : Donne, si possible, le résultat sous la forme \(a^{n}\).

1. Calcule la somme suivante : \(7 + 7 + 7 + 7 =\)

2. Effectue la division : \(\dfrac{8^{5}}{8^{2}} =\)

3. Calcule : \(9^{3} + 9^{3} =\)

4. Simplifie le produit : \(3^{4} \times 4^{4} =\)

5. Calcule la puissance : \((5^{3})^{3} =\)

6. Simplifie le produit : \(6^{10} \times 6^{5} =\)

Réponse

1. 28
   
2. 8³
   
3. 2 × 9³
   
4. 12⁴
   
5. 5⁹
   
6. 6¹⁵

Corrigé détaillé

Nous allons corriger chaque point de l’exercice en détaillant les étapes et en expliquant la méthode.

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a) Somme de plusieurs fois le même nombre

Nous devons calculer :
  7 + 7 + 7 + 7

Une manière de voir ce calcul consiste à multiplier 7 par le nombre de fois où il apparaît. Comme 7 est ajouté 4 fois, nous avons :
  7 + 7 + 7 + 7 = 7 × 4 = 28

Le résultat est 28. Ici, il n’est pas possible d’exprimer 28 directement sous la forme a^(n).

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b) Division de puissances de même base

Nous devons calculer :
  (8^5) / (8^2)

On utilise ici la règle suivante pour les puissances ayant même base :
  a^n / a^m = a^(n - m)

En appliquant cette règle :
  8^5 / 8^2 = 8^(5 - 2) = 8^3

Le résultat est donc 8^3.

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c) Somme de deux puissances identiques

Nous devons calculer :
  9^3 + 9^3

Ici, on remarque que les deux termes sont identiques, ce qui permet d’extraire le facteur commun 9^3 :
  9^3 + 9^3 = 2 × 9^3

Comme le facteur 2 ne s’exprime pas sous la forme d’une puissance de 9, le résultat final est 2 × 9^3.

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d) Produit de deux puissances avec le même exposant

Nous devons simplifier :
  3^4 × 4^4

Quand deux nombres élevés à la même puissance sont multipliés, on peut utiliser la propriété suivante :
  a^n × b^n = (a × b)^n

En applipliquant cette propriété :
  3^4 × 4^4 = (3 × 4)^4 = 12^4

Le résultat est donc 12^4.

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e) Puissance d’une puissance

Nous devons calculer :
  (5³⁾3

La règle des puissances indique que lorsque l’on élève une puissance à une autre puissance, il faut multiplier les exposants :
  (aⁿ⁾m = a^(n × m)

Ainsi :
  (5³⁾3 = 5^(3 × 3) = 5^9

Le résultat est 5^9.

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f) Produit de puissances de même base

Nous devons simplifier :
  6^10 × 6^5

Pour multiplier des puissances de même base, on ajoute les exposants :
  a^n × a^m = a^(n + m)

Donc :
  6^10 × 6^5 = 6^(10 + 5) = 6^15

Le résultat est 6^15.

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Récapitulatif des résultats :

1. 7 + 7 + 7 + 7 = 28
   
2. 8^5 / 8^2 = 8^3
   
3. 9^3 + 9^3 = 2 × 9^3
   
4. 3^4 × 4^4 = 12^4
   
5. (5³⁾3 = 5^9
   
6. 6^10 × 6^5 = 6^15

Chaque étape a été expliquée afin de clarifier les règles appliquées et faciliter la compréhension.