Question : Calcule ou complète.
\(3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} =\)
\(\sqrt{\quad} = 16\)
\(15 = 3\)
\((-5)^{2} =\)
\(\sqrt{-9} =\)
\((\quad)^{3} = \dfrac{27}{64}\)
\(\sqrt[3]{\quad} = 5\)
\(5 \cdot 10^{6} = 10^{\quad}\)
\(100 = 0,001\)
\(\left(\sqrt[3]{125}\right)^{3} =\)
Réponses succinctes :
\(3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 86\)
\(\sqrt{256} = 16\)
\(x = 5\)
\((-5)^{2} = 25\)
\(\sqrt{-9} = 3i\)
\(\left(\dfrac{3}{4}\right)^{3} = \dfrac{27}{64}\)
\(\sqrt[3]{125} = 5\)
Il n’existe pas d’exposant \(x\) tel que \(10^{x} = 5 \times 10^{6}\)
\(100 = 10^{2}\) et \(0,001 = 10^{-3}\)
\(\left(\sqrt[3]{125}\right)^{3} = 125\)
Correction détaillée :
Pour calculer \(3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2}\), nous devons élever chaque nombre au carré puis additionner les résultats.
Calculons chaque carré individuellement : \[ 3^{2} = 3 \times 3 = 9 \] \[ 4^{2} = 4 \times 4 = 16 \] \[ 5^{2} = 5 \times 5 = 25 \] \[ 6^{2} = 6 \times 6 = 36 \]
Additionnons les résultats obtenus : \[ 9 + 16 + 25 + 36 = 86 \]
Réponse : \[ 3^{2} + 4^{2} + 5^{2} + 6^{2} = 86 \]
Correction détaillée :
Nous devons trouver le nombre dont la racine carrée est 16.
Soit \(x\) ce nombre, alors : \[ \sqrt{x} = 16 \]
Pour isoler \(x\), élevons les deux côtés au carré : \[ (\sqrt{x})^{2} = 16^{2} \] \[ x = 256 \]
Réponse : \[ \sqrt{256} = 16 \]
Correction détaillée :
Cette équation semble incorrecte car 15 n’est pas égal à 3. Toutefois, si l’on considère qu’il manque une opération ou un symbole, clarifions-la.
Supposons qu’il s’agit de résoudre une équation du type : \[ 15 = 3x \]
Réponse : Si l’équation est \(15 = 3x\), alors \(x = 5\).
Correction détaillée :
Nous devons calculer \((-5)^{2}\).
Réponse : \[ (-5)^{2} = 25 \]
Correction détaillée :
La racine carrée d’un nombre négatif n’est pas définie dans les nombres réels. Cependant, dans le cadre des nombres complexes, elle peut être exprimée avec l’unité imaginaire \(i\), où \(i = \sqrt{-1}\).
Réponse : \[ \sqrt{-9} = 3i \]
Correction détaillée :
Nous devons trouver le nombre qui, élevé au cube, donne \(\dfrac{27}{64}\).
Soit \(x\) ce nombre, alors : \[ x^{3} = \dfrac{27}{64} \]
Prenons la racine cubique des deux côtés : \[ x = \sqrt[3]{\dfrac{27}{64}} = \dfrac{\sqrt[3]{27}}{\sqrt[3]{64}} = \dfrac{3}{4} \]
Réponse : \[ \left(\dfrac{3}{4}\right)^{3} = \dfrac{27}{64} \]
Correction détaillée :
Nous devons trouver le nombre dont la racine cubique est 5.
Soit \(x\) ce nombre, alors : \[ \sqrt[3]{x} = 5 \]
Pour isoler \(x\), élevons les deux côtés au cube : \[ (\sqrt[3]{x})^{3} = 5^{3} \] \[ x = 125 \]
Réponse : \[ \sqrt[3]{125} = 5 \]
Correction détaillée :
Nous devons exprimer \(5 \times 10^{6}\) comme une puissance de 10.
Cependant, \(5 \times 10^{6}\) n’est pas une pure puissance de 10. Pour l’exprimer sous une forme similaire, on peut utiliser la notation scientifique.
Dans ce cas, il n’y a pas de puissance de 10 seule qui égale \(5 \times 10^{6}\).
Réponse : Il n’existe pas d’exposant \(x\) tel que \(10^{x} = 5 \times 10^{6}\). La forme donnée est déjà simplifiée.
Correction détaillée :
Cette équation est incorrecte car 100 n’est pas égal à 0,001. Cependant, si l’on considère une relation de puissances de 10, clarifions-la.
Supposons que l’on cherche une égalité entre puissances de 10 : \[ 10^{x} = 0,001 \]
Convertissons 0,001 en puissance de 10 : \[ 0,001 = 10^{-3} \]
Ainsi : \[ 10^{x} = 10^{-3} \implies x = -3 \]
Réponse : Si \(100 = 10^{x}\), alors \(x = 2\). Si \(0,001 = 10^{-3}\), donc \(x = -3\).
Correction détaillée :
Nous devons calculer \(\left(\sqrt[3]{125}\right)^{3}\).
Calculons d’abord la racine cubique de 125 : \[ \sqrt[3]{125} = 5 \quad \text{car} \quad 5^{3} = 125 \]
Élevons ce résultat au cube : \[ 5^{3} = 125 \]
Réponse : \[ \left(\sqrt[3]{125}\right)^{3} = 125 \]