Question : La somme des inverses des puissances de 3 est la suivante :
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} + \ldots \]
Quelle est la valeur du sixième terme ?
Quelle est la somme des six premiers termes ?
Quelle serait la somme si la série était poursuivie ?
Réponses :
Le sixième terme vaut \(\dfrac{1}{729}\).
La somme des six premiers termes est \(\dfrac{364}{729}\).
Si la série était poursuivie, la somme serait \(\dfrac{1}{2}\).
Nous allons résoudre chaque partie de l’exercice étape par étape.
La somme des inverses des puissances de 3 est la suivante :
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + \frac{1}{729} + \ldots \]
Solution :
Pour trouver le sixième terme de la série, observons le schéma des puissances de 3 dans les dénominateurs.
Identifier le schéma :
Le premier terme est \(\frac{1}{3}\), qui peut s’écrire \(\frac{1}{3^1}\).
Le deuxième terme est \(\frac{1}{9} = \frac{1}{3^2}\).
Le troisième terme est \(\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3}\).
Ainsi, le \(n\)-ième terme de la série est donné par : \[ a_n = \frac{1}{3^n} \]
Calculer le sixième terme :
Remplaçons \(n\) par 6 dans la formule : \[ a_6 = \frac{1}{3^6} \]
Calculons \(3^6\): \[ 3^6 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 729 \]
Donc : \[ a_6 = \frac{1}{729} \]
Réponse : Le sixième terme vaut \(\frac{1}{729}\).
Solution :
Nous devons calculer la somme des six premiers termes de la série géométrique.
Identifier la série géométrique :
Chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un rapport constant.
Ici, le premier terme \(a_1 = \frac{1}{3}\) et le rapport \(r = \frac{1}{3}\) (puisque \(\frac{1}{9} \div \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\)).
Utiliser la formule de la somme des \(n\) premiers termes d’une série géométrique :
La formule est : \[ S_n = a_1 \times \frac{1 - r^n}{1 - r} \]
Où :
Appliquer la formule pour \(n = 6\) :
\[ S_6 = \frac{1}{3} \times \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6}{1 - \frac{1}{3}} \]
Calculons \(\left(\frac{1}{3}\right)^6\) : \[ \left(\frac{1}{3}\right)^6 = \frac{1}{729} \]
Remplaçons dans la formule : \[ S_6 = \frac{1}{3} \times \frac{1 - \frac{1}{729}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{\frac{728}{729}}{\frac{2}{3}} \]
Simplifions : \[ S_6 = \frac{1}{3} \times \frac{728}{729} \times \frac{3}{2} = \frac{728}{1458} \]
Simplifions davantage : \[ \frac{728}{1458} = \frac{364}{729} = \frac{52}{104.083...} \quad (\text{approximativement }) \]
Toutefois, pour obtenir une fraction simplifiée exacte, on peut dire que : \[ S_6 = \frac{364}{729} \]
Réponse : La somme des six premiers termes est \(\frac{364}{729}\).
Solution :
Nous devons trouver la somme de la série géométrique infinie.
Vérifier la convergence de la série :
Une série géométrique infinie converge si la valeur absolue du rapport \(|r| < 1\). Ici, \(r = \frac{1}{3}\), donc la série converge.
Utiliser la formule de la somme d’une série géométrique infinie :
La formule est : \[ S = \frac{a_1}{1 - r} \]
Où :
Appliquer la formule :
\[ S = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{2}{3}} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \]
Réponse : Si la série était poursuivie à l’infini, la somme serait \(\frac{1}{2}\).
Le sixième terme vaut \(\dfrac{1}{729}\).
La somme des six premiers termes est \(\dfrac{364}{729}\).
Si la série était poursuivie, la somme serait \(\dfrac{1}{2}\).
Il est important de maîtriser les notions de séries géométriques et d’utiliser les formules appropriées pour calculer les termes et les sommes, que ce soit pour un nombre fini de termes ou pour une série infinie.