\(4^{5} \times 4^{2} \stackrel{?}{=} 4^{3} \times 4^{4}\)
\(5^{3} \times 5^{3} \stackrel{?}{=} 5^{4} \times 5^{2}\)
\(2^{4} \times 2^{5} \stackrel{?}{=} \left(2^{3}\right)^{3}\)
\(2^{3} \times 4^{4} \times 2 \times 3^{4}\)
\(5^{2} + 4^{3}\)
\(\frac{4^{6} \times 3^{6}}{12^{4} \times 3^{2}}\)
Voici la correction détaillée de l’exercice.
────────────────────────────── Problème 1 : Vérifier si les égalités sont correctes
Pour chacune des égalités, nous allons utiliser la propriété suivante
:
a^m × a^n = a^(m+n).
────────────────────────────── 1.a) 4⁵ × 4² ?= 4³ × 4⁴
• Calculons le côté gauche :
4⁵ × 4² = 4^(5+2) = 4⁷.
• Calculons le côté droit :
4³ × 4⁴ = 4^(3+4) = 4⁷.
• Conclusion :
Les deux côtés sont égaux (4⁷ = 4⁷), donc l’égalité est correcte.
────────────────────────────── 1.b) 5³ × 5³ ?= 5⁴ × 5²
• Côté gauche :
5³ × 5³ = 5^(3+3) = 5⁶.
• Côté droit :
5⁴ × 5² = 5^(4+2) = 5⁶.
• Conclusion :
Les deux côtés valent 5⁶, donc l’égalité est correcte.
────────────────────────────── 1.c) 2⁴ × 2⁵ ?= (2³)³
• Côté gauche :
2⁴ × 2⁵ = 2^(4+5) = 2⁹.
• Côté droit :
(2³)³ = 2^(3×3) = 2⁹.
• Conclusion :
Les deux côtés sont égaux (2⁹ = 2⁹), donc l’égalité est correcte.
────────────────────────────── Problème 2 : Calcul mental
────────────────────────────── 2.a) Calculer : 2³ × 4⁴ × 2 × 3⁴
Étape 1 : Exprimer 4⁴ en fonction de 2
4⁴ = (2²)⁴ = 2^(2×4) = 2⁸.
Étape 2 : Regrouper toutes les puissances de 2
2³ × 2⁸ × 2 = 2^(3+8+1) = 2¹².
Ainsi, l’expression devient :
2¹² × 3⁴.
Étape 3 : Calculer chaque puissance
2¹² = 4096
3⁴ = 81
Étape 4 : Multiplier
4096 × 81 = (4096 × 80) + (4096 × 1)
4096 × 80 = 327680
327680 + 4096 = 331776
Réponse : 331776
────────────────────────────── 2.b) Calculer : 5² + 4³
Étape 1 : Calculer chaque terme
5² = 25
4³ = 64
Étape 2 : Additionner
25 + 64 = 89
Réponse : 89
────────────────────────────── 2.c) Calculer : (4⁶ × 3⁶) / (12⁴ × 3²)
Étape 1 : Factoriser 12⁴
On reconnaît que 12 = 4 × 3
Donc, 12⁴ = (4 × 3)⁴ = 4⁴ × 3⁴
Étape 2 : Réécrire l’expression
(4⁶ × 3⁶) / (4⁴ × 3⁴ × 3²)
Étape 3 : Simplifier avec les puissances
Pour la base 4 : 4⁶ / 4⁴ = 4^(6-4) = 4²
Pour la base 3 : 3⁶ / (3⁴ × 3²) = 3^(6-4-2) = 3⁰
Rappel : 3⁰ = 1.
Ainsi, l’expression se simplifie à :
4² × 1 = 4²
Étape 4 : Calculer 4²
4² = 16
Réponse : 16
────────────────────────────── Conclusion
Pour les égalités de la première partie : a) Correct
b) Correct
c) Correct
Les résultats des calculs mentaux sont : a) 331776
b) 89
c) 16
Cette correction détaillée montre pas à pas les raisonnements et les opérations utilisées pour arriver aux réponses.