Exercice :
À chaque rebond, une balle atteint les \(\frac{2}{3}\) de la hauteur du rebond précédent.
Quelle fraction de la hauteur initiale atteint-elle au quatrième rebond ?
La balle atteint 16/81 de la hauteur initiale au quatrième rebond.
Pour résoudre cet exercice, nous allons déterminer la fraction de la hauteur initiale que la balle atteint après le quatrième rebond. L’énoncé précise que la hauteur atteinte à chaque rebond est égale aux 2/3 de la hauteur atteinte lors du rebond précédent.
Voici les étapes détaillées :
Notons H la hauteur initiale.
Premier rebond : La balle atteint une hauteur égale à (2/3) × H.
Deuxième rebond : Pour ce rebond, la nouvelle hauteur est obtenue en multipliant la hauteur atteinte lors du premier rebond par 2/3. Ainsi, la hauteur après le deuxième rebond est (2/3) × ((2/3) × H) = (2/3)² × H.
Troisième rebond : De même, pour le troisième rebond, la hauteur sera (2/3) × ((2/3)² × H) = (2/3)³ × H.
Quatrième rebond : Enfin, pour le quatrième rebond, on multiplie la hauteur obtenue au troisième rebond par 2/3 : (2/3) × ((2/3)³ × H) = (2/3)⁴ × H.
Calculons (2/3)⁴ : (2/3)⁴ = (2 × 2 × 2 × 2) / (3 × 3 × 3 × 3) = 16/81.
Ainsi, la hauteur atteinte lors du quatrième rebond représente 16/81 de la hauteur initiale.
En conclusion, la réponse est : la balle atteint 16/81 de la hauteur initiale au quatrième rebond.