Question :
\[ 1, \, 4, \, 9, \, 16, \, 25, \, 36 \]
Que peut-on dire de la somme de deux nombres carrés consécutifs ?
27 est le troisième nombre cubique.
Comment justifier ce résultat à l’aide d’assemblages de points ?
Résumé de la correction :
Somme de deux carrés consécutifs : La somme de deux nombres carrés consécutifs est toujours un nombre impair.
Nombres cubiques : 27 est le troisième nombre cubique, obtenu en assemblant 3 couches de 3×3 points, illustrant la relation entre carrés et cubes.
Énoncé :
Les six premiers nombres carrés sont :
\[ 1, \, 4, \, 9, \, 16, \, 25, \, 36 \]
Que peut-on dire de la somme de deux nombres carrés consécutifs ?
Correction :
Pour comprendre ce qui se passe lorsque l’on additionne deux nombres carrés consécutifs, suivons les étapes suivantes :
Identifier les nombres carrés consécutifs :
Les nombres carrés consécutifs dans la liste donnée sont les paires suivantes :
Calculer la somme de chaque paire :
Calculons maintenant la somme de chaque paire de nombres carrés consécutifs :
Analyser les résultats obtenus :
Observons les sommes obtenues :
\[ 5, \, 13, \, 25, \, 41, \, 61 \]
On remarque que toutes les sommes sont des nombres impairs.
Justifier pourquoi la somme est toujours impaire :
Regardons le comportement des nombres carrés en termes de parité (pair ou impair).
Dans la liste donnée :
Lorsqu’on additionne un nombre carré impair avec un nombre carré pair (car les carrés sont consécutifs, l’un est impair et l’autre est pair), le résultat est toujours impair. En effet :
Ainsi, la somme de deux nombres carrés consécutifs est toujours un nombre impair.
Énoncé :
Quelle relation existe-t-il entre les nombres carrés et les nombres cubiques ?
27 est le troisième nombre cubique.
Comment justifier ce résultat à l’aide d’assemblages de points ?
Correction :
Pour comprendre la relation entre les nombres carrés et les nombres cubiques, et justifier que \(27\) est le troisième nombre cubique, procédons étape par étape.
Définition des nombres carrés et cubiques :
Nombres carrés : Un nombre carré est le produit d’un entier par lui-même. Par exemple, \(3^2 = 3 \times 3 = 9\).
Nombres cubiques : Un nombre cubique est le produit d’un entier par lui-même deux fois de plus, c’est-à-dire \(n^3 = n \times n \times n\). Par exemple, \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\).
Liste des premiers nombres cubiques :
Calculons les premiers nombres cubiques :
Justification par assemblage de points :
Pour visualiser pourquoi \(27\) est le troisième nombre cubique, imaginons que nous voulons assembler des points pour former des cubes.
Premier cube (\(1^3\)) :
Un cube de côté \(1\) est simplement un point unique.
\[ \text{Nombre de points} = 1 \]
Deuxième cube (\(2^3\)) :
Un cube de côté \(2\) peut être vu comme une structure composée de \(2\) couches de \(2 \times 2\) points.
\[ \text{Nombre de points} = 2 \times 2 \times 2 = 8 \]
Troisième cube (\(3^3\)) :
De la même manière, un cube de côté \(3\) est constitué de \(3\) couches de \(3 \times 3\) points.
\[ \text{Nombre de points} = 3 \times 3 \times 3 = 27 \]
Conclusion sur la relation :
On observe que les nombres cubiques représentent le nombre total de points nécessaires pour assembler un cube parfait avec des côtés de longueur entière. Ainsi, \(27\) étant le troisième nombre cubique, correspond au cube dont chaque côté mesure \(3\) unités, nécessitant \(3 \times 3 \times 3 = 27\) points.
Cette méthode d’assemblage de points permet de visualiser et de comprendre la formation des nombres cubiques en relation avec les nombres carrés, qui ne concernent que deux dimensions (longueur et largeur), tandis que les nombres cubiques ajoutent la troisième dimension (hauteur).