Question : Prolongez cette suite numérique et déterminez la fonction permettant de calculer rapidement la valeur du \(150^{\text{e}}\) terme.
\[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ 486,\ \ldots \]
La suite est géométrique de raison 3. La formule générale est \(u_n = 2 \times 3^{n-1}\). Ainsi, le \(150^{\text{e}}\) terme est \(u_{150} = 2 \times 3^{149}\).
Pour prolonger la suite numérique et déterminer la fonction permettant de calculer rapidement la valeur du \(150^{\text{e}}\) terme, suivons les étapes ci-dessous.
Observons les termes donnés de la suite : \[ 2,\ 6,\ 18,\ 54,\ 162,\ 486,\ \ldots \]
Calculons le rapport entre chaque terme consécutif pour identifier le type de suite : \[ \frac{6}{2} = 3,\quad \frac{18}{6} = 3,\quad \frac{54}{18} = 3,\quad \frac{162}{54} = 3,\quad \frac{486}{162} = 3 \]
Le rapport constant entre les termes successifs est \(3\). Cela indique que la suite est géométrique avec un raison \(r = 3\).
Pour une suite géométrique, la formule du \(n^{\text{e}}\) terme (\(u_n\)) est donnée par : \[ u_n = u_1 \times r^{n-1} \] où : - \(u_1\) est le premier terme de la suite, - \(r\) est la raison, - \(n\) est le rang du terme.
Dans notre cas : - \(u_1 = 2\), - \(r = 3\).
Donc, la fonction générale devient : \[ u_n = 2 \times 3^{n-1} \]
Appliquons la formule générale pour \(n = 150\) : \[ u_{150} = 2 \times 3^{150-1} = 2 \times 3^{149} \]
Ainsi, la valeur du \(150^{\text{e}}\) terme est : \[ u_{150} = 2 \times 3^{149} \]
Remarque : En pratique, calculer \(3^{149}\) directement peut donner un très grand nombre. Dans des contextes scolaires, on utilise généralement la formule pour comprendre la progression de la suite plutôt que pour calculer de tels termes élevés.
La suite donnée est une suite géométrique de raison \(3\). La fonction permettant de calculer rapidement le \(n^{\text{e}}\) terme est : \[ u_n = 2 \times 3^{n-1} \] Ainsi, pour trouver le \(150^{\text{e}}\) terme, on utilise : \[ u_{150} = 2 \times 3^{149} \]