Douze camions transportent des palettes.
Chaque camion porte 8 palettes, et chaque palette contient 8 grandes boîtes.
Chaque grande boîte renferme 8 cartons.
Chaque carton contient 64 bouteilles de parfum destinées aux boutiques.
Combien de bouteilles de parfum sont transportées au total ?
Exprime le résultat sous forme de puissance de 2, puis en notation décimale.
Réponse : Le nombre total de bouteilles est 393216, ce qui s’écrit aussi 3 × 2¹⁷.
Nous allons déterminer, étape par étape, le nombre total de bouteilles de parfum transportées.
• Chaque camion transporte 8 palettes.
• Chaque palette contient 8 grandes boîtes.
• Chaque grande boîte renferme 8 cartons.
• Chaque carton contient 64 bouteilles.
Le calcul se fait ainsi :
Nombre total = 12 camions × 8 palettes × 8 grandes boîtes × 8
cartons × 64 bouteilles
= 12 × (8 × 8 × 8) × 64
= 12 × 8³ × 64
On sait que 8 peut s’écrire 2³.
8³ = (2³)³ = 2^(3×3) = 2⁹.
De plus, 64 peut s’exprimer comme 2⁶.
Donc, le calcul devient :
12 × 2⁹ × 2⁶.
En combinant les puissances de 2, on additionne les exposants :
2⁹ × 2⁶ = 2^(9+6) = 2¹⁵.
Le produit se transforme alors en :
12 × 2¹⁵.
Mais 12 peut être décomposé en 2² × 3. Autrement dit :
12 = 2² × 3.
Nous avons donc :
12 × 2¹⁵ = (2² × 3) × 2¹⁵ = 3 × 2^(2+15) = 3 × 2¹⁷.
Ainsi, le résultat sous forme de puissance de 2 est :
3 × 2¹⁷.
Pour cela, calculons 2¹⁷.
2¹⁷ = 131072.
Alors, on obtient :
3 × 131072 = 393216.
Conclusion :
Le nombre total de bouteilles de parfum transportées est :
• Sous forme de puissance de 2 : 3 × 2¹⁷
• En notation décimale : 393216
Cette méthode nous montre comment passer d’une multiplication successive à une écriture sous forme de puissance de 2, puis en calculant le résultat en notation décimale.