Question : Les virus de la grippe sont des agents pathogènes courants affectant les voies respiratoires.
La taille d’un virus de la grippe est de \(0{,}1\,\mu\mathrm{m}\). Exprimez cette taille en mètres et donnez le résultat en notation scientifique.
À une température de \(25^{\circ}\mathrm{C}\), la population de virus de la grippe double toutes les 30 minutes.
Une population initiale de 500 virus de la grippe est placée dans ces conditions. Quel est le nombre de virus de la grippe au bout de trois heures ? Au bout de six heures ?
Écrivez ces résultats en notation scientifique.
Nous allons traiter chaque point de l’exercice étape par étape.
────────────────────────────── Point a) Conversion de la taille
On nous indique que la taille d’un virus de la grippe est de 0,1 µm. Pour convertir cette taille en mètres, il faut connaître l’équivalence suivante :
1 µm = 1 × 10⁻⁶ m
Donc, la conversion se fait ainsi :
0,1 µm = 0,1 × (1 × 10⁻⁶ m)
Pour écrire ce résultat en notation scientifique, nous pouvons réécrire 0,1 comme 1 × 10⁻¹. Ainsi, nous avons :
0,1 µm = (1 × 10⁻¹) × (1 × 10⁻⁶ m) = 1 × 10⁻¹⁻⁶ m = 1 × 10⁻⁷ m
Donc, la taille d’un virus de la grippe est de 1 × 10⁻⁷ m.
────────────────────────────── Point c) Calcul de la population de virus après un certain temps
On nous précise que, pour une température de 25 °C, la population de virus double toutes les 30 minutes. On part d’une population initiale de 500 virus.
Pour déterminer le nombre total de virus après un temps donné, nous devons savoir combien de fois la population a doublé. La formule générale pour une croissance exponentielle est :
N_final = N_initial × 2^(nombre de doubles)
- Convertissons trois heures en minutes : 3 heures × 60 minutes/heure = 180 minutes. - Puisque la population double toutes les 30 minutes, le nombre de doubles est : nombre de doubles = 180 minutes ÷ 30 minutes = 6.
On calcule alors :
N_final = 500 × 2⁶
Calculons 2⁶ : 2⁶ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64.
Donc :
N_final = 500 × 64 = 32 000
Pour exprimer ce résultat en notation scientifique, on écrit 32 000 comme :
32 000 = 3,2 × 10⁴
- Convertissons six heures en minutes : 6 heures × 60 minutes/heure = 360 minutes. - Avec un doublement toutes les 30 minutes, le nombre de doubles est : nombre de doubles = 360 minutes ÷ 30 minutes = 12.
On calcule :
N_final = 500 × 2¹²
Calculons 2¹² : 2¹² = 4096.
Alors :
N_final = 500 × 4096 = 2 048 000
Pour l’exprimer en notation scientifique, on peut écrire 2 048 000 ainsi :
2 048 000 = 2,048 × 10⁶
────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :
La taille d’un virus de la grippe est de 1 × 10⁻⁷ m.
- Au bout de trois heures, il y aura 3,2 × 10⁴ virus. - Au bout de six heures, il y aura 2,048 × 10⁶ virus.
Chaque étape utilise des opérations élémentaires pour assurer la compréhension des conversions et le calcul des puissances dans une situation de croissance exponentielle.