Exercice 31

Question : Calcule les expressions suivantes.

  1. \(4^{2} + 6 \cdot 2^{-1} =\)

  2. \(3^{-2} + 8 + 5^{-1} =\)

  3. \(7^{3} \cdot 3^{-3} + 6^{2} - 9^{-1} =\)

  4. \(2^{4} + 2^{-4} =\)

Réponse

Réponses :

  1. \(19\)

  2. \(\frac{374}{45} \approx 8,31\)

  3. \(\frac{1312}{27} \approx 48,59\)

  4. \(\frac{257}{16} = 16,0625\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Question a. \(4^{2} + 6 \cdot 2^{-1} =\)

Étape 1 : Calculer \(4^{2}\)

\[4^{2} = 4 \times 4 = 16\]

Étape 2 : Calculer \(2^{-1}\)

Un exposant négatif signifie que l’on prend l’inverse du nombre :

\[2^{-1} = \frac{1}{2}\]

Étape 3 : Multiplier par 6

\[6 \cdot 2^{-1} = 6 \times \frac{1}{2} = 3\]

Étape 4 : Additionner les résultats

\[16 + 3 = 19\]

Réponse

\[4^{2} + 6 \cdot 2^{-1} = 19\]


Question b. \(3^{-2} + 8 + 5^{-1} =\)

Étape 1 : Calculer \(3^{-2}\)

\[3^{-2} = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}\]

Étape 2 : Calculer \(5^{-1}\)

\[5^{-1} = \frac{1}{5}\]

Étape 3 : Additionner tous les termes

\[\frac{1}{9} + 8 + \frac{1}{5}\]

Étape 4 : Mettre les fractions au même dénominateur

Le dénominateur commun entre 9 et 5 est 45.

\[\frac{1}{9} = \frac{5}{45}\]

\[\frac{1}{5} = \frac{9}{45}\]

Étape 5 : Additionner les fractions et le nombre entier

\[\frac{5}{45} + 8 + \frac{9}{45} = \frac{14}{45} + 8\]

\[8 = \frac{360}{45}\]

\[\frac{14}{45} + \frac{360}{45} = \frac{374}{45}\]

Réponse

\[3^{-2} + 8 + 5^{-1} = \frac{374}{45} \approx 8,31\]


Question c. \(7^{3} \cdot 3^{-3} + 6^{2} - 9^{-1} =\)

Étape 1 : Calculer \(7^{3}\)

\[7^{3} = 7 \times 7 \times 7 = 343\]

Étape 2 : Calculer \(3^{-3}\)

\[3^{-3} = \frac{1}{3^{3}} = \frac{1}{27}\]

Étape 3 : Multiplier \(7^{3}\) par \(3^{-3}\)

\[343 \times \frac{1}{27} = \frac{343}{27}\]

Étape 4 : Calculer \(6^{2}\)

\[6^{2} = 6 \times 6 = 36\]

Étape 5 : Calculer \(9^{-1}\)

\[9^{-1} = \frac{1}{9}\]

Étape 6 : Assembler tous les termes

\[\frac{343}{27} + 36 - \frac{1}{9}\]

Étape 7 : Mettre les fractions au même dénominateur

Le dénominateur commun est 27.

\[\frac{1}{9} = \frac{3}{27}\]

\[\frac{343}{27} - \frac{3}{27} = \frac{340}{27}\]

Étape 8 : Ajouter le nombre entier

\[36 = \frac{972}{27}\]

\[\frac{340}{27} + \frac{972}{27} = \frac{1312}{27}\]

\[ \frac{1312}{27} \approx 48,59\]

Réponse

\[7^{3} \cdot 3^{-3} + 6^{2} - 9^{-1} = \frac{1312}{27} \approx 48,59\]


Question d. \(2^{4} + 2^{-4} =\)

Étape 1 : Calculer \(2^{4}\)

\[2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16\]

Étape 2 : Calculer \(2^{-4}\)

\[2^{-4} = \frac{1}{2^{4}} = \frac{1}{16}\]

Étape 3 : Additionner les deux termes

\[16 + \frac{1}{16}\]

Étape 4 : Mettre au même dénominateur

\[16 = \frac{256}{16}\]

\[\frac{256}{16} + \frac{1}{16} = \frac{257}{16}\]

\[ \frac{257}{16} = 16,0625\]

Réponse

\[2^{4} + 2^{-4} = \frac{257}{16} = 16,0625\]

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