Exercice 30

Question : Réécris chaque expression sous la forme d’une seule puissance.

  1. \(4^{3} \cdot 2^{-3}\)

  2. \((-3)^{4} \cdot (-6)^{-4}\)

  3. \(7^{2} \cdot (-14)^{-2}\)

Réponse

Réponses finales :

  1. \(2^{3}\)

  2. \(2^{-4}\)

  3. \(\frac{1}{4}\)

Corrigé détaillé

Correction détaillée

Question a.

Expression : \(4^{3} \cdot 2^{-3}\)

Objectif : Réécrire l’expression sous la forme d’une seule puissance.

Étapes :

  1. Exprimer \(4\) en fonction de \(2\) :

    \(4\) peut être écrit comme \(2^{2}\), car \(2 \times 2 = 4\).

    Ainsi, l’expression devient : \[ (2^{2})^{3} \cdot 2^{-3} \]

  2. Appliquer la propriété des puissances : \((a^{m})^{n} = a^{m \times n}\) :

    \[ 2^{2 \times 3} \cdot 2^{-3} = 2^{6} \cdot 2^{-3} \]

  3. Appliquer la propriété des puissances pour la multiplication : \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\) :

    \[ 2^{6 + (-3)} = 2^{3} \]

Réponse finale : \[ 2^{3} \]


Question b.

Expression : \((-3)^{4} \cdot (-6)^{-4}\)

Objectif : Réécrire l’expression sous la forme d’une seule puissance.

Étapes :

  1. Exprimer \(-6\) en termes de \(-3\) :

    \(-6\) peut être écrit comme \(-3 \times 2\).

    Ainsi, l’expression devient : \[ (-3)^{4} \cdot [(-3) \times 2]^{-4} \]

  2. Appliquer la propriété des puissances : \((a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}\) :

    \[ (-3)^{4} \cdot (-3)^{-4} \times 2^{-4} \]

  3. Simplifier \((-3)^{4} \cdot (-3)^{-4}\) :

    \[ (-3)^{4 + (-4)} = (-3)^{0} \]

    Or, \(a^{0} = 1\) pour tout \(a \neq 0\).

    Donc : \[ 1 \times 2^{-4} = 2^{-4} \]

Réponse finale : \[ 2^{-4} \]


Question c.

Expression : \(7^{2} \cdot (-14)^{-2}\)

Objectif : Réécrire l’expression sous la forme d’une seule puissance.

Étapes :

  1. Exprimer \(-14\) en termes de \(7\) :

    \(-14\) peut être écrit comme \(-2 \times 7\).

    Ainsi, l’expression devient : \[ 7^{2} \cdot [(-2) \times 7]^{-2} \]

  2. Appliquer la propriété des puissances : \((a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}\) :

    \[ 7^{2} \cdot (-2)^{-2} \times 7^{-2} \]

  3. Simplifier \(7^{2} \cdot 7^{-2}\) :

    \[ 7^{2 + (-2)} = 7^{0} \]

    Or, \(a^{0} = 1\) pour tout \(a \neq 0\).

    Donc : \[ 1 \times (-2)^{-2} = (-2)^{-2} \]

  4. Simplifier \((-2)^{-2}\) :

    \[ (-2)^{-2} = \left(\frac{1}{-2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \]

Réponse finale : \[ \frac{1}{4} \]

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