Question : Réécris chaque expression sous la forme d’une seule puissance.
\(4^{3} \cdot 2^{-3}\)
\((-3)^{4} \cdot (-6)^{-4}\)
\(7^{2} \cdot (-14)^{-2}\)
Réponses finales :
\(2^{3}\)
\(2^{-4}\)
\(\frac{1}{4}\)
Expression : \(4^{3} \cdot 2^{-3}\)
Objectif : Réécrire l’expression sous la forme d’une seule puissance.
Étapes :
Exprimer \(4\) en fonction de \(2\) :
\(4\) peut être écrit comme \(2^{2}\), car \(2 \times 2 = 4\).
Ainsi, l’expression devient : \[ (2^{2})^{3} \cdot 2^{-3} \]
Appliquer la propriété des puissances : \((a^{m})^{n} = a^{m \times n}\) :
\[ 2^{2 \times 3} \cdot 2^{-3} = 2^{6} \cdot 2^{-3} \]
Appliquer la propriété des puissances pour la multiplication : \(a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}\) :
\[ 2^{6 + (-3)} = 2^{3} \]
Réponse finale : \[ 2^{3} \]
Expression : \((-3)^{4} \cdot (-6)^{-4}\)
Objectif : Réécrire l’expression sous la forme d’une seule puissance.
Étapes :
Exprimer \(-6\) en termes de \(-3\) :
\(-6\) peut être écrit comme \(-3 \times 2\).
Ainsi, l’expression devient : \[ (-3)^{4} \cdot [(-3) \times 2]^{-4} \]
Appliquer la propriété des puissances : \((a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}\) :
\[ (-3)^{4} \cdot (-3)^{-4} \times 2^{-4} \]
Simplifier \((-3)^{4} \cdot (-3)^{-4}\) :
\[ (-3)^{4 + (-4)} = (-3)^{0} \]
Or, \(a^{0} = 1\) pour tout \(a \neq 0\).
Donc : \[ 1 \times 2^{-4} = 2^{-4} \]
Réponse finale : \[ 2^{-4} \]
Expression : \(7^{2} \cdot (-14)^{-2}\)
Objectif : Réécrire l’expression sous la forme d’une seule puissance.
Étapes :
Exprimer \(-14\) en termes de \(7\) :
\(-14\) peut être écrit comme \(-2 \times 7\).
Ainsi, l’expression devient : \[ 7^{2} \cdot [(-2) \times 7]^{-2} \]
Appliquer la propriété des puissances : \((a \times b)^{n} = a^{n} \times b^{n}\) :
\[ 7^{2} \cdot (-2)^{-2} \times 7^{-2} \]
Simplifier \(7^{2} \cdot 7^{-2}\) :
\[ 7^{2 + (-2)} = 7^{0} \]
Or, \(a^{0} = 1\) pour tout \(a \neq 0\).
Donc : \[ 1 \times (-2)^{-2} = (-2)^{-2} \]
Simplifier \((-2)^{-2}\) :
\[ (-2)^{-2} = \left(\frac{1}{-2}\right)^{2} = \frac{1}{4} \]
Réponse finale : \[ \frac{1}{4} \]