Exercice 29

Question: Écris chaque quotient sous la forme d’une puissance d’un nombre.

1. \(\dfrac{4^{-3}}{4^{1}} =\)

2. \(\dfrac{2^{5}}{2^{-2}} =\)

3. \(\dfrac{(-3)^{-1}}{(-3)^{-4}} =\)

4. \(\dfrac{6^{-4}}{6^{-1}} =\)

5. \(\dfrac{2^{-3}}{2^{4}} =\)

6. \(\dfrac{(-7)^{2}}{(-7)^{-3}} =\)

7. \(\dfrac{x}{x^{-2}} =\)

Réponse

Réponses :
a. 4^(–4)
b. 2^(7)
c. (–3)^(3) (soit –27)
d. 6^(–3)
e. 2^(–7)
f. (–7)^(5)
g. x^(3)

Corrigé détaillé

Voici la correction détaillée de chaque question en expliquant pas à pas la démarche utilisée.

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a. Calcul de (4^(–3))/(4(1))

1. Rappel de la propriété des puissances : Pour des puissances de même base a, on a
     a^m ÷ a^n = a^(m – n).

2. Ici, on a m = –3 et n = 1, donc :
     (4^(–3))/(4(1)) = 4^(–3 – 1) = 4^(–4).

La réponse de a est donc 4^(–4).

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b. Calcul de (2^(5))/(2(–2))

1. Utilisons la règle des puissances avec même base :
     a^m ÷ a^n = a^(m – n).

2. Avec m = 5 et n = –2, on a :
     (2^(5))/(2(–2)) = 2^(5 – (–2)) = 2^(5 + 2) = 2^(7).

La réponse de b est donc 2^(7).

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c. Calcul de ((–3)^{(–1))/((–3)}(–4))

1. On applique la même propriété pour la division de puissances de même base :
     (–3)^(m) ÷ (–3)^(n) = (–3)^(m – n).

2. Avec m = –1 et n = –4, il vient :
     ((–3)^{(–1))/((–3)}(–4)) = (–3)^(–1 – (–4)) = (–3)^(–1 + 4) = (–3)^(3).

3. Calcul de (–3)^(3) :
     (–3)^(3) = (–3) × (–3) × (–3) = 9 × (–3) = –27.

La réponse de c est donc (–3)^(3) ou explicitement –27.

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d. Calcul de (6^(–4))/(6(–1))

1. En appliquant la propriété des puissances, avec m = –4 et n = –1, on a :
     (6^(–4))/(6(–1)) = 6^(–4 – (–1)) = 6^(–4 + 1) = 6^(–3).

La réponse de d est donc 6^(–3).

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e. Calcul de (2^(–3))/(2(4))

1. Utilisons la même règle en remarquant que m = –3 et n = 4 :
     (2^(–3))/(2(4)) = 2^(–3 – 4) = 2^(–7).

La réponse de e est donc 2^(–7).

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f. Calcul de ((–7)^(2))/((–7)(–3))

1. Appliquons la propriété :
     (–7)^(2) ÷ (–7)^(–3) = (–7)^(2 – (–3)) = (–7)^(2 + 3) = (–7)^(5).

2. On peut vérifier le signe : Une puissance impaire de (–7) reste négative.
     (–7)^(5) = –7 × –7 × –7 × –7 × –7, ce qui donne un nombre négatif.

La réponse de f est donc (–7)^(5).

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g. Calcul de (x)/(x^(–2))

1. On peut écrire x comme x^(1) et appliquer la règle des puissances :
     x^(1) ÷ x^(–2) = x^(1 – (–2)) = x^(1 + 2) = x^(3).

La réponse de g est donc x^(3).

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Récapitulatif des réponses :

1. 4^(–4)
   
2. 2^(7)
   
3. (–3)^(3) (soit –27)
   
4. 6^(–3)
   
5. 2^(–7)
   
6. (–7)^(5)
   
7. x^(3)

Chaque étape repose sur la même propriété fondamentale des puissances qui consiste à soustraire l’exposant du dénominateur de celui du numérateur lorsque les bases sont identiques.