Exercice 28

Exercice : Écris chaque produit sous la forme d’une puissance d’un nombre.

1. \(3^{5} \cdot 3^{-2} =\)

2. \((-2)^{3} \cdot (-2)^{4} =\)

3. \(4^{2} \cdot 4^{3} =\)

4. \((-5)^{-3} \cdot (-5)^{2} =\)

5. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4} \times 3^{-1} =\)

6. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times 2^{-4} =\)

7. \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \times \left(\frac{5}{3}\right)^{3} =\)

Réponse

Résultats

1. \(3^{3}\)

2. \((-2)^{7}\)

3. \(4^{5}\)

4. \((-5)^{-1}\)

5. \(3^{-5}\)

6. \(2^{-7}\)

7. \(\left(\frac{5}{3}\right)^{5}\)

Corrigé détaillé

Correction de l’exercice

Nous allons simplifier chaque produit en utilisant les propriétés des puissances. Rappelons que lorsque nous multiplions des puissances ayant la même base, nous additionnons les exposants.

\[ a^m \cdot a^n = a^{m+n} \]

a. \(3^{5} \cdot 3^{-2}\)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants.

• Base commune : 3
• Exposants : 5 et -2

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances.

\[ 3^{5} \cdot 3^{-2} = 3^{5 + (-2)} = 3^{3} \]

Réponse :

\[ 3^{5} \cdot 3^{-2} = 3^{3} \]

b. \((-2)^{3} \cdot (-2)^{4}\)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants.

• Base commune : \(-2\)
• Exposants : 3 et 4

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances.

\[ (-2)^{3} \cdot (-2)^{4} = (-2)^{3 + 4} = (-2)^{7} \]

Réponse :

\[ (-2)^{3} \cdot (-2)^{4} = (-2)^{7} \]

c. \(4^{2} \cdot 4^{3}\)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants.

• Base commune : 4
• Exposants : 2 et 3

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances.

\[ 4^{2} \cdot 4^{3} = 4^{2 + 3} = 4^{5} \]

Réponse :

\[ 4^{2} \cdot 4^{3} = 4^{5} \]

d. \((-5)^{-3} \cdot (-5)^{2}\)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants.

• Base commune : \(-5\)
• Exposants : -3 et 2

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances.

\[ (-5)^{-3} \cdot (-5)^{2} = (-5)^{-3 + 2} = (-5)^{-1} \]

Réponse :

\[ (-5)^{-3} \cdot (-5)^{2} = (-5)^{-1} \]

e. \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4} \times 3^{-1}\)

Étape 1 : Simplifier \(\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\).

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{4} = 3^{-4} \]

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances.

\[ 3^{-4} \times 3^{-1} = 3^{-4 + (-1)} = 3^{-5} \]

Réponse :

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^{4} \times 3^{-1} = 3^{-5} \]

f. \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times 2^{-4}\)

Étape 1 : Simplifier \(\left(\frac{1}{2}\right)^{3}\).

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = 2^{-3} \]

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances.

\[ 2^{-3} \times 2^{-4} = 2^{-3 + (-4)} = 2^{-7} \]

Réponse :

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times 2^{-4} = 2^{-7} \]

g. \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \times \left(\frac{5}{3}\right)^{3}\)

Étape 1 : Simplifier \(\left(\frac{3}{5}\right)^{-2}\).

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2} \]

Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances avec même base.

Les deux termes ont maintenant la base \(\frac{5}{3}\).

\[ \left(\frac{5}{3}\right)^{2} \times \left(\frac{5}{3}\right)^{3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{2 + 3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{5} \]

Réponse :

\[ \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} \times \left(\frac{5}{3}\right)^{3} = \left(\frac{5}{3}\right)^{5} \]

Récapitulatif des réponses

1. \(3^{3}\)

2. \((-2)^{7}\)

3. \(4^{5}\)

4. \((-5)^{-1}\)

5. \(3^{-5}\)

6. \(2^{-7}\)

7. \(\left(\frac{5}{3}\right)^{5}\)