Exercice 27

Exercice : Choisissez la bonne réponse pour chaque affirmation.

1. a. Le nombre décimal 0,372 s’écrit aussi :
   • \(3,72 \times 10^{1} \quad / \quad 0,0372 \times 10^{2}\)
   • \(3,72 \times 10^{-1} \quad / \quad 3,72 \times 10^{2}\)
2. b. Calculer : \(5^{10} \times \dfrac{5^{-5}}{5^{3}} =\)
   • \(5^{12} \quad / \quad 5^{2} \quad / \quad 5^{-3} \quad / \quad 5^{3}\)
3. c. L’écriture scientifique de \(\dfrac{32 \times 10^{-4} \times 4 \times 10^{3}}{2 \times 10^{2} \times 8 \times 10^{-1}}\) est :
   • \(8,0 \cdot 10^{-1} \quad / \quad 8,0 \cdot 10^{0} \quad / \quad 8,0 \cdot 10^{1} \quad / \quad 8,0 \cdot 10^{2}\)
4. d. Calculer : \(3^{2} \times 3^{-4} \times 3^{6} \times 3^{-8} =\)
   • \(3^{-4} \quad / \quad 3^{0} \quad / \quad 3^{-2} \quad / \quad 3^{2}\)

Réponse

1. 3,72 × 10^(–1)
   
2. 5²
   
3. Aucune des propositions n’est correcte (la bonne réponse est 8,0 × 10^(–2))
   
4. 3^(–4)

Corrigé détaillé

Nous allons corriger chacune des affirmations pas à pas.

────────────────────────────── 1. a) On souhaite écrire le nombre 0,372 sous forme d’un produit d’un nombre décimal (compris entre 1 et 10) et d’une puissance de 10.

• Pour cela, on écrit 0,372 = 3,72 × ?
  On se pose la question : quel exposant convient à 10 pour que 3,72 × 10^(n) = 0,372 ?
• Écrire 3,72 × 10^(–1) donne : 3,72 × 0,1 = 0,372.

Ainsi, la bonne écriture est 3,72 × 10^(–1).

On remarque que dans la première réponse proposée, les écritures proposées (3,72 × 10¹ et 0,0372 × 10²) ne donnent pas 0,372, et dans la deuxième proposition, seul 3,72 × 10^(–1) convient (3,72 × 10² donnerait 372).

────────────────────────────── 2. b) Calculer : 5¹⁰ × (5^(–5) / 5³).

Utilisons la propriété des exposants :
  Quand on multiplie des puissances de même base, on additionne les exposants et, lorsqu’on divise, on soustrait les exposants.

• D’abord, écriture de la division : 5^(–5) / 5³ = 5^(–5 – 3) = 5^(–8).
• Ensuite, multiplier par 5¹⁰ donne : 5¹⁰ × 5^(–8) = 5^(10 – 8) = 5².

Parmi les choix proposés, la bonne réponse est 5².

────────────────────────────── 3. c) Calculer l’écriture scientifique de :   (32 × 10^(–4) × 4 × 10³) / (2 × 10² × 8 × 10^(–1)).

Procédons en plusieurs étapes :

1. Regroupons séparément les nombres et les puissances de 10.

• Numérateur :
  Les coefficients : 32 × 4 = 128.
  Les puissances de 10 : 10^(–4) × 10³ = 10^(–4+3) = 10^(–1).
  Donc, le numérateur s’écrit 128 × 10^(–1).

• Dénominateur :
  Les coefficients : 2 × 8 = 16.
  Les puissances de 10 : 10² × 10^(–1) = 10^(2–1) = 10¹.
  Donc, le dénominateur s’écrit 16 × 10¹.

2. Écrivons la fraction :   (128 × 10^(–1)) / (16 × 10¹).

3. Simplifions séparément les coefficients et la partie en puissance de 10 :

• Coefficients : 128 / 16 = 8.
• Puissances de 10 : 10^(–1) / 10¹ = 10^(–1–1) = 10^(–2).

On obtient donc : 8 × 10^(–2).

Cette écriture est déjà sous la forme scientifique (le coefficient 8 est compris entre 1 et 10).
Parmi les propositions affichées :   8,0 × 10^(–1), 8,0 × 10⁰, 8,0 × 10¹, 8,0 × 10²
aucune n’est égale à 8,0 × 10^(–2) (puisque 8,0 × 10^(–2) = 0,08).

Conclusion pour la question c) : Aucune des écritures proposées ne correspond à la réponse correcte.

────────────────────────────── 4. d) Calculer : 3² × 3^(–4) × 3⁶ × 3^(–8).

Pour multiplier des puissances de même base, on additionne les exposants :

  Exposant total = 2 + (–4) + 6 + (–8).
  Calculons étape par étape :
   2 + (–4) = –2,
   –2 + 6 = 4,
   4 + (–8) = –4.

On obtient donc 3^(–4).

Parmi les choix proposés (3^(–4), 3⁰, 3^(–2), 3²), la bonne réponse est 3^(–4).

────────────────────────────── Récapitulatif des réponses :

1. 1. 3,72 × 10^(–1)
      
2. 2. 5²
      
3. 3. Le résultat est 8,0 × 10^(–2), ce qui n’est proposé dans aucune des options.
      
4. 4. 3^(–4)

Cette correction permet de voir comment utiliser les règles de manipulation des puissances et l’écriture scientifique et devrait être compréhensible même pour un élève de collège.