Question : Complète les égalités suivantes.
\(2^{5} \times 2 = 2^{\underline{\hspace{1cm}}}\)
\(4^{\underline{\hspace{1cm}}} \times 4^{3} = 4^{6}\)
\(6^{-3} = 6^{\underline{\hspace{1cm}}}\)
\(\frac{3}{3^{7}} = 3^{\underline{\hspace{1cm}}}\)
\(5^{-4} \times 5^{\underline{\hspace{1cm}}} = 5^{2}\)
\(2^{9} = 2^{\underline{\hspace{1cm}}}\)
Résumé des réponses :
\(2^{5} \times 2 = 2^{6}\)
\(4^{3} \times 4^{3} = 4^{6}\)
\(6^{-3} = 6^{-3}\)
\(\frac{3}{3^{7}} = 3^{-6}\)
\(5^{-4} \times 5^{6} = 5^{2}\)
\(2^{9} = 2^{9}\)
Question : \[2^{5} \times 2 = 2^{\underline{\hspace{1cm}}}\]
Correction :
Pour compléter l’égalité, il faut utiliser la règle des puissances de même base qui stipule :
\[ a^{m} \times a^{n} = a^{m+n} \]
Ici, la base est \(2\). Observons donc les exposants :
\[ 2^{5} \times 2 = 2^{5} \times 2^{1} = 2^{5 + 1} = 2^{6} \]
Réponse complétée : \[2^{5} \times 2 = 2^{6}\]
Question : \[4^{\underline{\hspace{1cm}}} \times 4^{3} = 4^{6}\]
Correction :
Nous appliquons la même règle des puissances de même base :
\[ 4^{m} \times 4^{3} = 4^{m+3} = 4^{6} \]
Pour trouver \(m\), résolvons :
\[ m + 3 = 6 \\ m = 6 - 3 \\ m = 3 \]
Réponse complétée : \[4^{3} \times 4^{3} = 4^{6}\]
Question : \[6^{-3} = 6^{\underline{\hspace{1cm}}}\]
Correction :
L’égalité donnée montre que les deux côtés de l’équation sont égaux, donc les exposants doivent être les mêmes.
\[ 6^{-3} = 6^{\underline{\hspace{1cm}}} \]
Ainsi,
\[ \underline{\hspace{1cm}} = -3 \]
Réponse complétée : \[6^{-3} = 6^{-3}\]
Question : \[\frac{3}{3^{7}} = 3^{\underline{\hspace{1cm}}}\]
Correction :
Réécrivons la fraction en utilisant les puissances de 3 :
\[ \frac{3}{3^{7}} = 3^{1} \times 3^{-7} = 3^{1 - 7} = 3^{-6} \]
Réponse complétée : \[\frac{3}{3^{7}} = 3^{-6}\]
Question : \[5^{-4} \times 5^{\underline{\hspace{1cm}}} = 5^{2}\]
Correction :
Appliquons la règle des puissances de même base :
\[ 5^{-4} \times 5^{n} = 5^{-4 + n} = 5^{2} \]
Pour trouver \(n\), résolvons l’équation :
\[ -4 + n = 2 \\ n = 2 + 4 \\ n = 6 \]
Réponse complétée : \[5^{-4} \times 5^{6} = 5^{2}\]
Question : \[2^{9} = 2^{\underline{\hspace{1cm}}}\]
Correction :
L’égalité montre que les deux expressions sont identiques, donc les exposants doivent être égaux.
\[ 2^{9} = 2^{\underline{\hspace{1cm}}} \]
Ainsi,
\[ \underline{\hspace{1cm}} = 9 \]
Réponse complétée : \[2^{9} = 2^{9}\]
\(2^{5} \times 2 = 2^{6}\)
\(4^{3} \times 4^{3} = 4^{6}\)
\(6^{-3} = 6^{-3}\)
\(\frac{3}{3^{7}} = 3^{-6}\)
\(5^{-4} \times 5^{6} = 5^{2}\)
\(2^{9} = 2^{9}\)
Chaque exercice a été résolu en appliquant les propriétés des puissances, notamment la règle de multiplication des puissances de même base et l’égalité des exposants lorsque les bases sont identiques. Ces règles permettent de simplifier et de résoudre efficacement ce type d’équations.