Question : Écris chaque nombre sous la forme d’une puissance d’un nombre.
Réponses de l’exercice :
\(7^{10}\)
\(2^{5}\)
\(4^{2}\)
\((-5)^{-4}\)
\(3^{3}\)
\(6^{2}\)
\(\left(\frac{2}{9}\right)^{6}\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{4}\)
Correction :
Exercice : Écris chaque nombre sous la forme d’une puissance d’un nombre.
a. \(\displaystyle \frac{1}{7^{-10}} = \, ?\)
Solution :
Pour simplifier cette expression, utilisons la propriété des puissances suivante :
\[ \frac{1}{a^{-n}} = a^{n} \]
Appliquons cette propriété à notre expression :
\[ \frac{1}{7^{-10}} = 7^{10} \]
Réponse : \(7^{10}\)
b. \(\displaystyle \frac{1}{2^{-5}} = \, ?\)
Solution :
Nous allons appliquer la même propriété des puissances :
\[ \frac{1}{a^{-n}} = a^{n} \]
En remplaçant \(a\) par \(2\) et \(n\) par \(5\), on obtient :
\[ \frac{1}{2^{-5}} = 2^{5} \]
Réponse : \(2^{5}\)
c. \(\displaystyle \frac{1}{4^{-2}} = \, ?\)
Solution :
Encore une fois, appliquons la propriété des puissances :
\[ \frac{1}{a^{-n}} = a^{n} \]
Avec \(a = 4\) et \(n = 2\) :
\[ \frac{1}{4^{-2}} = 4^{2} \]
Réponse : \(4^{2}\)
d. \(\displaystyle \frac{1}{(-5)^{4}} = \, ?\)
Solution :
Ici, l’exposant est positif, donc nous n’avons pas besoin de modifier l’expression. Cependant, nous pouvons écrire le dénominateur comme une puissance positive :
\[ \frac{1}{(-5)^{4}} = (-5)^{-4} \]
Ainsi, l’expression est déjà sous forme de puissance.
Réponse : \((-5)^{-4}\)
e. \(\displaystyle \frac{1}{3^{-3}} = \, ?\)
Solution :
Appliquons la propriété des puissances :
\[ \frac{1}{a^{-n}} = a^{n} \]
Avec \(a = 3\) et \(n = 3\) :
\[ \frac{1}{3^{-3}} = 3^{3} \]
Réponse : \(3^{3}\)
f. \(\displaystyle \frac{-1}{-6^{-2}} = \, ?\)
Solution :
Simplifions d’abord le signe négatif dans le numérateur et le dénominateur :
\[ \frac{-1}{-6^{-2}} = \frac{1}{6^{-2}} \]
Ensuite, appliquons la propriété des puissances :
\[ \frac{1}{6^{-2}} = 6^{2} \]
Réponse : \(6^{2}\)
g. \(\displaystyle \frac{9^{-6}}{2^{-6}} = \, ?\)
Solution :
Lorsqu’on divise des puissances avec le même exposant, on peut les combiner en une seule puissance en divisant les bases :
\[ \frac{a^{n}}{b^{n}} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n} \]
Appliquons cette propriété avec \(a = 9\), \(b = 2\), et \(n = -6\) :
\[ \frac{9^{-6}}{2^{-6}} = \left( \frac{9}{2} \right)^{-6} \]
Pour simplifier davantage, rappelons que \(x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}\) :
\[ \left( \frac{9}{2} \right)^{-6} = \left( \frac{2}{9} \right)^{6} \]
Réponse : \(\left( \frac{2}{9} \right)^{6}\)
h. \(\displaystyle \frac{-3^{-4}}{-2^{-4}} = \, ?\)
Solution :
Simplifions d’abord les signes négatifs dans le numérateur et le dénominateur :
\[ \frac{-3^{-4}}{-2^{-4}} = \frac{3^{-4}}{2^{-4}} \]
Appliquons la propriété des puissances quand on divise des puissances avec le même exposant :
\[ \frac{a^{n}}{b^{n}} = \left( \frac{a}{b} \right)^{n} \]
Avec \(a = 3\), \(b = 2\), et \(n = -4\) :
\[ \frac{3^{-4}}{2^{-4}} = \left( \frac{3}{2} \right)^{-4} \]
Utilisons la propriété \(x^{-n} = \frac{1}{x^{n}}\) pour simplifier :
\[ \left( \frac{3}{2} \right)^{-4} = \left( \frac{2}{3} \right)^{4} \]
Réponse : \(\left( \frac{2}{3} \right)^{4}\)