Exercice 21

Question : Effectue les calculs suivants et donne les résultats sous la forme d’une puissance de 10.

1. \(10^{3} \cdot 10^{4} =\)

2. \(10^{5} \cdot 10^{2} =\)

3. \(\frac{10^{9}}{10^{3}} =\)

4. \(\frac{10^{6}}{10^{5}} =\)

5. \(\left(10^{2}\right)^{4} =\)

6. \(\left(10^{3}\right)^{3} =\)

Réponse

Réponses

1. \(10^{7}\)
   
2. \(10^{7}\)
   
3. \(10^{6}\)
   
4. \(10\)
   
5. \(10^{8}\)
   
6. \(10^{9}\)

Corrigé détaillé

Correction des exercices

a. \(10^{3} \times 10^{4} =\)

Solution :

1. Comprendre les puissances de 10 :

   • \(10^{3}\) signifie \(10 \times 10 \times 10 = 1\,000\).
   • \(10^{4}\) signifie \(10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000\).

2. Multiplier les deux puissances :

   • Lorsque l’on multiplie deux puissances ayant la même base, on additionne les exposants.
   • Formule : \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a + b}\).

3. Appliquer la formule :

   \[ 10^{3} \times 10^{4} = 10^{3 + 4} = 10^{7} \]

Réponse : \(10^{7}\)

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b. \(10^{5} \times 10^{2} =\)

Solution :

1. Identifier les puissances :

   • \(10^{5}\) représente \(100\,000\).
   • \(10^{2}\) représente \(100\).

2. Appliquer la règle de multiplication des puissances :

   \[ 10^{5} \times 10^{2} = 10^{5 + 2} = 10^{7} \]

Réponse : \(10^{7}\)

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c. \(\frac{10^{9}}{10^{3}} =\)

Solution :

1. Comprendre la division des puissances de 10 :

   • \(10^{9}\) est égal à \(1\,000\,000\,000\).
   • \(10^{3}\) est égal à \(1\,000\).

2. Appliquer la règle de division des puissances ayant la même base :

   • On soustrait les exposants.
   • Formule : \(\frac{10^{a}}{10^{b}} = 10^{a - b}\).

3. Effectuer la soustraction des exposants :

   \[ \frac{10^{9}}{10^{3}} = 10^{9 - 3} = 10^{6} \]

Réponse : \(10^{6}\)

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d. \(\frac{10^{6}}{10^{5}} =\)

Solution :

1. Identifier les puissances :

   • \(10^{6} = 1\,000\,000\).
   • \(10^{5} = 100\,000\).

2. Appliquer la règle de division des puissances :

   \[ \frac{10^{6}}{10^{5}} = 10^{6 - 5} = 10^{1} \]

3. Simplifier :

   \[ 10^{1} = 10 \]

Réponse : \(10^{1}\) ou simplement \(10\)

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e. \(\left(10^{2}\right)^{4} =\)

Solution :

1. Comprendre l’exponentiation d’une puissance :

   • \(\left(10^{2}\right)^{4}\) signifie élever \(10^{2}\) à la puissance 4.

2. Appliquer la règle des puissances :

   • Lorsque l’on élève une puissance à une autre puissance, on multiplie les exposants.
   • Formule : \(\left(10^{a}\right)^{b} = 10^{a \times b}\).

3. Effectuer la multiplication des exposants :

   \[ \left(10^{2}\right)^{4} = 10^{2 \times 4} = 10^{8} \]

Réponse : \(10^{8}\)

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f. \(\left(10^{3}\right)^{3} =\)

Solution :

1. Identifier les puissances :

   • \(\left(10^{3}\right)^{3}\) signifie élever \(10^{3}\) à la puissance 3.

2. Appliquer la règle des puissances :

   • On multiplie les exposants.
   • Formule : \(\left(10^{a}\right)^{b} = 10^{a \times b}\).

3. Calculer le nouvel exposant :

   \[ \left(10^{3}\right)^{3} = 10^{3 \times 3} = 10^{9} \]

Réponse : \(10^{9}\)

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