Question : Pour obtenir un nombre spécial :
Par exemple :
\[1 + \mathbf{3} = \mathbf{4}\] n’est pas premier, on continue.
\[1 + 3 + \mathbf{9} = \mathbf{13}\] est premier et \[13 \times 9 = 117\] est spécial.
\[1 + 3 + 9 + 27 + \mathbf{81} = \mathbf{121}\] n’est pas premier, on continue.
Détermine le prochain nombre obtenu de cette façon.
Prouve que ce nombre est bien spécial.
Le prochain nombre spécial est 796797, car S₆ = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093 est un nombre premier et 1093 × 729 = 796797.
Nous allons procéder étape par étape pour trouver le prochain nombre spécial et montrer qu’il est effectivement spécial.
────────────────────────────── 1 – Rappel de la procédure
On construit une suite en ajoutant successivement les puissances de 3. À chaque étape, on calcule la somme partielle :
• Sₙ = 3⁰ + 3¹ + … + 3ⁿ
Si Sₙ est un nombre premier, alors le nombre spécial associé est Aₙ = Sₙ × 3ⁿ (la dernière puissance ajoutée).
────────────────────────────── 2 – Les cas déjà donnés
Pour n = 2 : 1 + 3 + 9 = 13 et 13 est premier. Nombre spécial : 13 × 9 = 117.
Pour n = 4 : 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121 mais 121 n’est pas premier (121 = 11 × 11).
────────────────────────────── 3 – Recherche du prochain nombre spécial
Nous continuons la somme en ajoutant les puissances suivantes de 3.
• Pour n = 5 : 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 Utilisons la formule de la somme d’une série géométrique : Sₙ = (3^(n+1) – 1) / (3 – 1) Pour n = 5 : S₅ = (3^(6) – 1) / 2 = (729 – 1) / 2 = 728 / 2 = 364. On constate que 364 n’est pas premier (par exemple, 364 = 2 × 182).
• Pour n = 6 : On ajoute 3⁶ = 729. La somme devient : S₆ = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729. Utilisons de nouveau la formule : S₆ = (3^(7) – 1) / 2 = (2187 – 1) / 2 = 2186 / 2 = 1093.
Il faut maintenant vérifier si 1093 est premier.
────────────────────────────── 4 – Vérification de la primalité de 1093
Pour montrer qu’un nombre est premier, on doit vérifier qu’il n’a aucun diviseur autre que 1 et lui-même. Le nombre 1093 est relativement petit (sa racine carrée est environ √1093 ≈ 33) donc il suffit de le tester avec les nombres premiers inférieurs à 33 (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, et 31).
• 1093 n’est pas pair, donc non divisible par 2. • La somme de ses
chiffres est 1 + 0 + 9 + 3 = 13, qui n’est pas un multiple de 3; donc
1093 n’est pas divisible par 3. • Pour 5, le nombre ne se termine ni par
0 ni par 5. • Pour 7, 11, 13, etc., on peut vérifier (par exemple en
effectuant de courts calculs ou en utilisant la division) qu’aucun de
ces nombres ne divise 1093 exactement.
Les divisions montrent qu’il n’existe aucun diviseur entier compris
entre 2 et 33 qui divise 1093.
Ainsi, 1093 est un nombre premier.
────────────────────────────── 5 – Calcul du nombre spécial
Puisque S₆ = 1093 est premier, le nombre spécial associé est obtenu en multipliant S₆ par la dernière puissance de 3 qui vient d’être ajoutée (soit 3⁶ = 729) :
Nombre spécial = 1093 × 729
Calculons cette multiplication :
Méthode 1 – Décomposition de la multiplication :
729 = 700 + 20 + 9
• 1093 × 700 = 1093 × 7 × 100 = 7651 × 100 = 765100 • 1093 × 20 = 1093 × 2 × 10 = 2186 × 10 = 21860 • 1093 × 9 = 9837 (car 1093 × 10 = 10930, puis 10930 – 1093 = 9837)
Additionnons ces résultats :
765100 + 21860 = 786960
786960 + 9837 = 796797
Méthode 2 – On peut également poser la multiplication directement.
────────────────────────────── 6 – Réponses aux questions
Le prochain nombre obtenu de cette façon est 796797.
Pour prouver que ce nombre est spécial, nous rappelons la procédure :
• On a calculé la somme S₆ = 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 = 1093. • On a montré que 1093 est un nombre premier (aucun entier de 2 à 33 ne divise 1093). • La définition du nombre spécial est d’obtenir un nombre en multipliant Sₙ par la dernière puissance de 3 ajoutée. Ici, la dernière puissance est 729. • En multipliant, on obtient : 1093 × 729 = 796797. • Ainsi, le nombre 796797 est bien celui qui correspond à la définition d’un nombre spécial.
────────────────────────────── Conclusion
Le prochain nombre spécial est donc 796797, car la somme 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 + 729 égale 1093 (qui est premier) et le produit 1093 × 729 donne 796797, conformément à la procédure définie dans l’énoncé.