Exercice 18

Effectuer les calculs suivants : réduire le résultat :

  1. \((0,3 x y)^{2}\)
  2. \(\left(-2 a^{2} b\right)^{4}\)
  3. \(\left(\left(-2 x^{2} y\right)^{3}\right)^{2}\)
  4. \(\left(\frac{1}{2} a b^{2}\right)^{3}\)
  5. \(\left(-3 x^{2} y^{3}\right)^{3}\)
  6. \(-\frac{1}{2} \cdot\left(a^{4} b^{2}\right)^{2}\)

Réponse

Résumé des réponses finales :

  1. \(0,09 \, x^{2} \, y^{2}\)
  2. \(16 \, a^{8} \, b^{4}\)
  3. \(64 \, x^{12} \, y^{6}\)
  4. \(\frac{1}{8} \, a^{3} \, b^{6}\)
  5. \(-27 \, x^{6} \, y^{9}\)
  6. \(-\frac{1}{2} \, a^{8} \, b^{4}\)

Corrigé détaillé

Voici les corrections détaillées pour les exercices proposés :


1) \((0,3 \, x \, y)^{2}\)

Étape 1 : Appliquer la puissance au produit.

\[ (0,3 \, x \, y)^{2} = 0,3^{2} \times x^{2} \times y^{2} \]

Étape 2 : Calculer \(0,3^{2}\).

\[ 0,3^{2} = 0,09 \]

Étape 3 : Rassembler les résultats.

\[ 0,09 \, x^{2} \, y^{2} \]

Réponse finale : \(0,09 \, x^{2} \, y^{2}\)


2) \(\left(-2 \, a^{2} \, b\right)^{4}\)

Étape 1 : Appliquer la puissance au produit.

\[ \left(-2 \, a^{2} \, b\right)^{4} = (-2)^{4} \times (a^{2})^{4} \times b^{4} \]

Étape 2 : Calculer chaque terme séparément.

\[ (-2)^{4} = 16 \] \[ (a^{2})^{4} = a^{8} \] \[ b^{4} = b^{4} \]

Étape 3 : Rassembler les résultats.

\[ 16 \, a^{8} \, b^{4} \]

Réponse finale : \(16 \, a^{8} \, b^{4}\)


3) \(\left(\left(-2 \, x^{2} \, y\right)^{3}\right)^{2}\)

Étape 1 : Simplifier l’expression en combinant les puissances.

\[ \left(\left(-2 \, x^{2} \, y\right)^{3}\right)^{2} = \left(-2 \, x^{2} \, y\right)^{3 \times 2} = \left(-2 \, x^{2} \, y\right)^{6} \]

Étape 2 : Appliquer la puissance au produit.

\[ \left(-2 \, x^{2} \, y\right)^{6} = (-2)^{6} \times (x^{2})^{6} \times y^{6} \]

Étape 3 : Calculer chaque terme séparément.

\[ (-2)^{6} = 64 \] \[ (x^{2})^{6} = x^{12} \] \[ y^{6} = y^{6} \]

Étape 4 : Rassembler les résultats.

\[ 64 \, x^{12} \, y^{6} \]

Réponse finale : \(64 \, x^{12} \, y^{6}\)


4) \(\left(\frac{1}{2} \, a \, b^{2}\right)^{3}\)

Étape 1 : Appliquer la puissance au produit.

\[ \left(\frac{1}{2} \, a \, b^{2}\right)^{3} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} \times a^{3} \times (b^{2})^{3} \]

Étape 2 : Calculer chaque terme séparément.

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8} \] \[ a^{3} = a^{3} \] \[ (b^{2})^{3} = b^{6} \]

Étape 3 : Rassembler les résultats.

\[ \frac{1}{8} \, a^{3} \, b^{6} \]

Réponse finale : \(\frac{1}{8} \, a^{3} \, b^{6}\)


5) \(\left(-3 \, x^{2} \, y^{3}\right)^{3}\)

Étape 1 : Appliquer la puissance au produit.

\[ \left(-3 \, x^{2} \, y^{3}\right)^{3} = (-3)^{3} \times (x^{2})^{3} \times (y^{3})^{3} \]

Étape 2 : Calculer chaque terme séparément.

\[ (-3)^{3} = -27 \] \[ (x^{2})^{3} = x^{6} \] \[ (y^{3})^{3} = y^{9} \]

Étape 3 : Rassembler les résultats.

\[ -27 \, x^{6} \, y^{9} \]

Réponse finale : \(-27 \, x^{6} \, y^{9}\)


6) \(-\frac{1}{2} \cdot \left(a^{4} \, b^{2}\right)^{2}\)

Étape 1 : Appliquer la puissance au produit.

\[ \left(a^{4} \, b^{2}\right)^{2} = (a^{4})^{2} \times (b^{2})^{2} \]

Étape 2 : Calculer chaque terme séparément.

\[ (a^{4})^{2} = a^{8} \] \[ (b^{2})^{2} = b^{4} \]

Étape 3 : Rassembler les résultats et appliquer le coefficient.

\[ -\frac{1}{2} \times a^{8} \times b^{4} = -\frac{1}{2} \, a^{8} \, b^{4} \]

Réponse finale : \(-\frac{1}{2} \, a^{8} \, b^{4}\)


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