Effectuer les calculs suivants ; réduire le résultat :
Résumé des réponses :
Étape 1 : Comprendre l’expression
Nous avons le produit \(5x y^{2}\) élevé au carré.
Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances sur un produit
\[ (a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n \]
Étape 3 : Appliquer la puissance à chaque facteur
\[ \left(5x y^{2}\right)^{2} = 5^{2} \cdot x^{2} \cdot \left(y^{2}\right)^{2} \]
Étape 4 : Calculer chaque puissance
\[ 5^{2} = 25 \] \[ \left(y^{2}\right)^{2} = y^{2 \times 2} = y^{4} \]
Étape 5 : Assembler les résultats
\[ 25 \cdot x^{2} \cdot y^{4} = 25x^{2}y^{4} \]
Réponse réduite :
\[ 25x^{2}y^{4} \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Nous avons le produit \(-6a^{4}b\) élevé au carré.
Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances sur un produit
\[ (a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n \]
Étape 3 : Appliquer la puissance à chaque facteur
\[ \left(-6a^{4}b\right)^{2} = (-6)^{2} \cdot \left(a^{4}\right)^{2} \cdot b^{2} \]
Étape 4 : Calculer chaque puissance
\[ (-6)^{2} = 36 \] \[ \left(a^{4}\right)^{2} = a^{4 \times 2} = a^{8} \]
Étape 5 : Assembler les résultats
\[ 36 \cdot a^{8} \cdot b^{2} = 36a^{8}b^{2} \]
Réponse réduite :
\[ 36a^{8}b^{2} \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Nous avons le produit \(-3x^{3}y z\) élevé au cube.
Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances sur un produit
\[ (a \cdot b \cdot c \cdot d)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n \cdot d^n \]
Étape 3 : Appliquer la puissance à chaque facteur
\[ \left(-3x^{3}y z\right)^{3} = (-3)^{3} \cdot \left(x^{3}\right)^{3} \cdot y^{3} \cdot z^{3} \]
Étape 4 : Calculer chaque puissance
\[ (-3)^{3} = -27 \] \[ \left(x^{3}\right)^{3} = x^{3 \times 3} = x^{9} \]
Étape 5 : Assembler les résultats
\[ -27 \cdot x^{9} \cdot y^{3} \cdot z^{3} = -27x^{9}y^{3}z^{3} \]
Réponse réduite :
\[ -27x^{9}y^{3}z^{3} \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Nous avons le produit \(4a^{3}b\) élevé à la puissance 4.
Étape 2 : Appliquer la propriété des puissances sur un produit
\[ (a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n \]
Étape 3 : Appliquer la puissance à chaque facteur
\[ \left(4a^{3}b\right)^{4} = 4^{4} \cdot \left(a^{3}\right)^{4} \cdot b^{4} \]
Étape 4 : Calculer chaque puissance
\[ 4^{4} = 256 \] \[ \left(a^{3}\right)^{4} = a^{3 \times 4} = a^{12} \]
Étape 5 : Assembler les résultats
\[ 256 \cdot a^{12} \cdot b^{4} = 256a^{12}b^{4} \]
Réponse réduite :
\[ 256a^{12}b^{4} \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Tout nombre ou expression différent de zéro élevé à la puissance 0 vaut 1.
Étape 2 : Appliquer la règle de la puissance zéro
\[ \left(-x^{2}y^{4}\right)^{0} = 1 \]
Réponse réduite :
\[ 1 \]
Étape 1 : Comprendre l’expression
Nous avons \(-x^{8}\) élevé à la puissance 8.
Étape 2 : Appliquer la règle des puissances pour un produit
\[ (-a)^{n} = (-1)^{n} \cdot a^{n} \]
Étape 3 : Appliquer la puissance
\[ \left(-x^{8}\right)^{8} = (-1)^{8} \cdot \left(x^{8}\right)^{8} \]
Étape 4 : Calculer chaque puissance
\[ (-1)^{8} = 1 \quad (\text{car 8 est un nombre pair}) \] \[ \left(x^{8}\right)^{8} = x^{8 \times 8} = x^{64} \]
Étape 5 : Assembler les résultats
\[ 1 \cdot x^{64} = x^{64} \]
Réponse réduite :
\[ x^{64} \]