Exercice 16

Effectuez les calculs suivants et réduisez les résultats :

1. \(\left(-2\,x^{2}\right) \cdot (7\,x)\)

2. \(\left(-\dfrac{2}{3}\,x^{2}\,y^{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{7}{12}\,y^{3}\right) \cdot \left(-\dfrac{6}{21}\,x^{-5}\right)\)

3. \(\dfrac{5}{4}\,x \cdot \left(-\dfrac{2}{15}\,x\right)\)

4. \(\dfrac{8}{9}\,x\,y\,z \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\,x\,y\right)\)

5. \(\left(-\dfrac{1}{2}\,a^{3}\,b\right) \cdot \left(-\dfrac{4}{5}\,a\,b^{3}\,c\right) \cdot \left(-\dfrac{5}{2}\,a^{7}\right)\)

6. \((-3\,a\,b\,c) \cdot \left(+\dfrac{1}{27}\,a^{4}\,b\right) \cdot 9\,a^{4}\,b^{12}\)

Réponse

Voici le résumé des réponses :

1. –14·x³
   
2. –y⁶/(9·x³)
   
3. –x²/6
   
4. –(4/3)·x²·y²·z
   
5. –a¹¹·b⁴·c
   
6. –a⁹·b¹⁴·c

Corrigé détaillé

Nous allons résoudre chacun des calculs étape par étape en appliquant les règles de la multiplication pour les coefficients numériques et les puissances de mêmes variables (la somme des exposants lorsqu’on multiplie).

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Exercice 1.
Calculer : (–2·x²) · (7·x)

1. Multiplier les coefficients : –2 × 7 = –14.
   
2. Multiplier les puissances de x : x² × x = x^(2+1) = x³.

Donc, le résultat est : –14·x³.

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Exercice 2.
Calculer : (–2/3·x²·y³) · (–7/12·y³) · (–6/21·x^(–5))

1. Coefficients :
   1. D’abord, (–2/3) × (–7/12) = (14)/(36) = 7/18 (le produit de deux nombres négatifs est positif).
      
   2. Ensuite, 7/18 × (–6/21) = –(7×6)/(18×21) = –42/378.
      
   3. Simplifier –42/378 : divisons le numérateur et le dénominateur par 42, on obtient –1/9.
2. Pour les variables :
   1. Pour x : x² × x^(–5) = x^(2–5) = x^(–3).
      
   2. Pour y : y³ × y³ = y^(3+3) = y⁶.

On obtient ainsi : –(1/9)·x^(–3)·y⁶.
Pour éviter l’exposant négatif, on peut écrire : –y⁶/(9·x³).

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Exercice 3.
Calculer : (5/4·x) · (–2/15·x)

1. Coefficients : (5/4) × (–2/15) = –10/60 = –1/6 après simplification.
   
2. Variables : x × x = x².

Donc, le résultat est : –x²/6.

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Exercice 4.
Calculer : (8/9·x·y·z) · (–3/2·x·y)

1. Coefficients : (8/9) × (–3/2) = –24/18 = –4/3 (car 24 et 18 se simplifient par 6).
   
2. Variables :
   1. Pour x : x × x = x².
      
   2. Pour y : y × y = y².
      
   3. La variable z reste seule.

Le résultat est donc : –(4/3)·x²·y²·z.

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Exercice 5.
Calculer : (–1/2·a³·b) · (–4/5·a·b³·c) · (–5/2·a⁷)

1. Coefficients :
   1. (–1/2) × (–4/5) = 4/10 = 2/5.
      
   2. (2/5) × (–5/2) = –10/10 = –1.
2. Variables :
   1. Pour a : a³ × a × a⁷ = a^(3+1+7) = a¹¹.
      
   2. Pour b : b × b³ = b^(1+3) = b⁴.
      
   3. La variable c reste.

Donc, le résultat est : –a¹¹·b⁴·c.

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Exercice 6.
Calculer : (–3·a·b·c) · (1/27·a⁴·b) · (9·a⁴·b¹²)

1. Coefficients :
   1. Multiplier : –3 × (1/27) = –3/27 = –1/9.
      
   2. Puis, (–1/9) × 9 = –9/9 = –1.
2. Variables :
   1. Pour a : a × a⁴ × a⁴ = a^(1+4+4) = a⁹.
      
   2. Pour b : b × b × b¹² = b^(1+1+12) = b¹⁴.
      
   3. La variable c reste.

Le résultat final est : –a⁹·b¹⁴·c.

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Récapitulatif des réponses réduites :

1. –14·x³
   
2. –y⁶/(9·x³)
   
3. –x²/6
   
4. –(4/3)·x²·y²·z
   
5. –a¹¹·b⁴·c
   
6. –a⁹·b¹⁴·c

Chaque étape a été appliquée en respectant les règles de multiplication (multiplication des coefficients et addition des exposants pour les puissances de même base). Ces explications permettent de comprendre le processus de réduction des expressions.