Exercice 14

1. Simplifiez l’expression suivante :

   \[(+3)^{2} \cdot (+3) \cdot (+3)^{3} \cdot (+3)^{4}\]

2. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\left(5^{3} \cdot \left(2^{3}\right)^{4} \cdot 7\right)^{2}\]

3. Simplifiez l’expression suivante :

   \[(-7)^{3} \cdot (+5)^{2} \cdot (+5) \cdot (-7)^{4}\]

4. Simplifiez l’expression suivante :

   \[3^{5} \cdot \left(3^{2} \cdot 3^{4}\right)\]

5. Simplifiez l’expression suivante :

   \[(+5)^{3}\]

6. Simplifiez l’expression suivante :

   \[\left(4^{2}\right)^{3} \cdot \left(4^{3}\right)^{5} \cdot 4\]

7. Simplifiez l’expression suivante :

   \[3^{5} \cdot \left(3^{2} + 3^{4}\right)\]

Réponse

Réponses simplifiées :

1. \((+3)^{10}\)
2. \(5^{6} \cdot 2^{24} \cdot 49\)
3. \((-7)^{7} \cdot 5^{3}\)
4. \(3^{11}\)
5. \(125\)
6. \(4^{22}\)
7. \(21\,870\)

Corrigé détaillé

Correction des Exercices

Exercice 1

Simplifiez l’expression suivante :

\[ (+3)^{2} \cdot (+3) \cdot (+3)^{3} \cdot (+3)^{4} \]

Correction détaillée :

Pour simplifier cette expression, nous allons utiliser les propriétés des puissances, en particulier la règle suivante :

\[ a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n} \]

1. Identifier la base commune :

   Toutes les puissances ont la même base, qui est \(+3\).

2. Additionner les exposants :

   Nous avons les exposants suivants : 2, 1 (car \((+3) = (+3)^1\)), 3 et 4.

   Calculons la somme des exposants :

   \[ 2 + 1 + 3 + 4 = 10 \]

3. Appliquer la règle des puissances :

   En ajoutant les exposants, l’expression devient :

   \[ (+3)^{10} \]

Réponse simplifiée :

\[ (+3)^{10} \]

---

Exercice 2

Simplifiez l’expression suivante :

\[ \left(5^{3} \cdot \left(2^{3}\right)^{4} \cdot 7\right)^{2} \]

Correction détaillée :

Pour simplifier cette expression, suivons les étapes suivantes :

1. Simplifier les puissances imbriquées :

   \(\left(2^{3}\right)^{4}\) se simplifie en multipliant les exposants :

   \[ \left(2^{3}\right)^{4} = 2^{3 \times 4} = 2^{12} \]

2. Remplacer dans l’expression initiale :

   L’expression devient :

   \[ \left(5^{3} \cdot 2^{12} \cdot 7\right)^{2} \]

3. Appliquer la propriété des puissances sur le produit :

   \((a \cdot b \cdot c)^n = a^n \cdot b^n \cdot c^n\)

   Donc :

   \[ \left(5^{3}\right)^{2} \cdot \left(2^{12}\right)^{2} \cdot 7^{2} \]

4. Simplifier chaque terme :

   • \(\left(5^{3}\right)^{2} = 5^{3 \times 2} = 5^{6}\)
   • \(\left(2^{12}\right)^{2} = 2^{12 \times 2} = 2^{24}\)
   • \(7^{2} = 49\)

5. Réunir les termes simplifiés :

   \[ 5^{6} \cdot 2^{24} \cdot 49 \]

Réponse simplifiée :

\[ 5^{6} \cdot 2^{24} \cdot 49 \]

---

Exercice 3

Simplifiez l’expression suivante :

\[ (-7)^{3} \cdot (+5)^{2} \cdot (+5) \cdot (-7)^{4} \]

Correction détaillée :

Pour simplifier cette expression, utilisons les propriétés des puissances et des signes.

1. Regrouper les termes avec la même base :

   • Les termes avec base \(-7\) : \((-7)^{3} \cdot (-7)^{4}\)
   • Les termes avec base \(+5\) : \((+5)^{2} \cdot (+5)\)

2. Simplifier les puissances pour chaque base :

   • Pour \(-7\) :

     \[ (-7)^{3} \cdot (-7)^{4} = (-7)^{3 + 4} = (-7)^{7} \]

   • Pour \(+5\) :

     \[ (+5)^{2} \cdot (+5) = (+5)^{2 + 1} = (+5)^{3} \]

3. Réécrire l’expression simplifiée :

   \[ (-7)^{7} \cdot (+5)^{3} \]

Réponse simplifiée :

\[ (-7)^{7} \cdot 5^{3} \]

---

Exercice 4

Simplifiez l’expression suivante :

\[ 3^{5} \cdot \left(3^{2} \cdot 3^{4}\right) \]

Correction détaillée :

Pour simplifier cette expression, appliquons les propriétés des puissances.

1. Simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses :

   \[ 3^{2} \cdot 3^{4} = 3^{2 + 4} = 3^{6} \]

2. Multiplier par \(3^{5}\) :

   \[ 3^{5} \cdot 3^{6} = 3^{5 + 6} = 3^{11} \]

Réponse simplifiée :

\[ 3^{11} \]

---

Exercice 5

Simplifiez l’expression suivante :

\[ (+5)^{3} \]

Correction détaillée :

L’expression \((+5)^{3}\) signifie que nous multiplions le nombre \(+5\) par lui-même trois fois.

1. Calculer la puissance :

   \[ (+5)^{3} = (+5) \cdot (+5) \cdot (+5) = +125 \]

Réponse simplifiée :

\[ 125 \]

---

Exercice 6

Simplifiez l’expression suivante :

\[ \left(4^{2}\right)^{3} \cdot \left(4^{3}\right)^{5} \cdot 4 \]

Correction détaillée :

Pour simplifier cette expression, utilisons les propriétés des puissances.

1. Simplifier les puissances imbriquées :

   • \(\left(4^{2}\right)^{3} = 4^{2 \times 3} = 4^{6}\)
   • \(\left(4^{3}\right)^{5} = 4^{3 \times 5} = 4^{15}\)

2. Réécrire l’expression simplifiée :

   \[ 4^{6} \cdot 4^{15} \cdot 4 \]

3. Exprimée en puissances de 4 :

   \(4 = 4^{1}\), donc :

   \[ 4^{6} \cdot 4^{15} \cdot 4^{1} \]

4. Additionner les exposants :

   \[ 4^{6 + 15 + 1} = 4^{22} \]

Réponse simplifiée :

\[ 4^{22} \]

---

Exercice 7

Simplifiez l’expression suivante :

\[ 3^{5} \cdot \left(3^{2} + 3^{4}\right) \]

Correction détaillée :

Pour simplifier cette expression, commençons par simplifier l’expression à l’intérieur des parenthèses, puis multiplier par \(3^{5}\).

1. Calculer les puissances dans les parenthèses :

   • \(3^{2} = 9\)
   • \(3^{4} = 81\)

2. Additionner les résultats :

   \[ 3^{2} + 3^{4} = 9 + 81 = 90 \]

3. Multiplier par \(3^{5}\) :

   L’expression devient :

   \[ 3^{5} \cdot 90 \]

4. Calculer \(3^{5}\) :

   \[ 3^{5} = 243 \]

5. Finaliser la multiplication :

   \[ 243 \cdot 90 = 21\,870 \]

Réponse simplifiée :

\[ 21\,870 \]