Exercice 13

1. Simplifiez l’expression suivante : \((-5)^{3} \cdot (-5) \cdot (-5)^{4}\)

2. Simplifiez l’expression suivante : \((+3)^{4} \cdot (-2) \cdot (+3)^{2} \cdot (-2)^{3}\)

3. Simplifiez l’expression suivante : \(7^{2} \cdot \left(7^{3}\right)^{4}\)

4. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(7^{2} \cdot 7^{3}\right)^{4}\)

5. Simplifiez l’expression suivante : \(\left((-4)^{2} \cdot (+5) \cdot (-2)^{4}\right)^{3}\)

6. Simplifiez l’expression suivante : \(\left(\left(5^{2}\right)^{3} \cdot 3^{4}\right)^{2}\)

Réponse

Réponses : 1) (–5)⁸ ou 390625
2) 11664
3) 7¹⁴
4) 7²⁰
5) (1280)³ ou 2 097 152 000
6) 5¹² · 3⁸

Corrigé détaillé

Nous allons simplifier chacune des expressions en appliquant les propriétés des puissances et en procédant étape par étape.

────────────────────────────── Exercice 1. Simplifiez : (–5)³ · (–5) · (–5)⁴

1. On reconnaît que (–5) peut s’écrire (–5)¹.
   
2. On utilise la propriété suivante : a^m · a^n = a^(m+n).
   Ainsi, (–5)³ · (–5)¹ · (–5)⁴ = (–5)^(3 + 1 + 4).
   
3. Calculons l’exposant : 3 + 1 + 4 = 8.
   
4. On obtient donc (–5)⁸.
   
5. Remarquons que quand l’exposant est pair, le résultat est positif. En effet, (–5)⁸ = 5⁸ = 390625.

Réponse ex.1 : (–5)⁸ ou 390625.

────────────────────────────── Exercice 2. Simplifiez : (+3)⁴ · (–2) · (+3)² · (–2)³

1. Regroupons d’abord les puissances de 3 :
   (+3)⁴ · (+3)² = 3^(4 + 2) = 3⁶.
   
2. Pour les puissances de –2, on remarque que (–2) = (–2)¹.
   Ainsi, (–2)¹ · (–2)³ = (–2)^(1 + 3) = (–2)⁴.
   
3. Comme l’exposant de (–2)⁴ est pair, (–2)⁴ = 2⁴ = 16.
   
4. On arrive alors à : 3⁶ · 16.
   
5. Calculons 3⁶ : 3⁶ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 729.
   
6. Enfin, 729 · 16 = 11664.

Réponse ex.2 : 11664.

────────────────────────────── Exercice 3. Simplifiez : 7² · (7³)⁴

1. Appliquons la règle de la puissance d’une puissance :
   (7³)⁴ = 7^(3 × 4) = 7¹².
   
2. Ensuite, multiplions 7² par 7¹² :
   7² · 7¹² = 7^(2 + 12) = 7¹⁴.

Réponse ex.3 : 7¹⁴.

────────────────────────────── Exercice 4. Simplifiez : (7² · 7³)⁴

1. D’abord, simplifions ce qui est à l’intérieur de la parenthèse. Comme 7² · 7³ = 7^(2 + 3) = 7⁵.
   
2. Ensuite, on élève ce résultat à la puissance 4 :
   (7⁵)⁴ = 7^(5 × 4) = 7²⁰.

Réponse ex.4 : 7²⁰.

────────────────────────────── Exercice 5. Simplifiez : ((–4)² · (+5) · (–2)⁴)³

1. Calculons séparément chaque partie à l’intérieur de la parenthèse :
   – (–4)² = (–4)² = 16 (car (–4)² = (–4) · (–4) = 16).
   – (+5) reste 5.
   – (–2)⁴ = 16 (car l’exposant est pair, donc (–2)⁴ = 2⁴ = 16).
   
2. Multiplions ces résultats à l’intérieur de la parenthèse :
   16 · 5 = 80, puis 80 · 16 = 1280.
   
3. Maintenant, on élève le résultat à la puissance 3 :
   (1280)³.

On peut laisser le résultat sous la forme (1280)³ ou, si on le calcule, on obtient :
1280² = 1 638 400, puis 1 638 400 × 1280 = 2 097 152 000.

Réponse ex.5 : (1280)³ ou 2 097 152 000.

────────────────────────────── Exercice 6. Simplifiez : ((5²)³ · 3⁴)²

1. Simplifions d’abord (5²)³. La propriété de la puissance d’une puissance donne :
   (5²)³ = 5^(2 × 3) = 5⁶.
   
2. L’expression devient donc : (5⁶ · 3⁴)².
   
3. Puis, lorsqu’on élève un produit à une puissance, on élève chaque facteur à cette puissance :
   (5⁶ · 3⁴)² = 5^(6 × 2) · 3^(4 × 2) = 5¹² · 3⁸.

Réponse ex.6 : 5¹² · 3⁸.

────────────────────────────── Ainsi, nous avons obtenu les simplifications suivantes :

1. (–5)⁸ ou 390625
   
2. 11664
   
3. 7¹⁴
   
4. 7²⁰
   
5. (1280)³ ou 2 097 152 000
   
6. 5¹² · 3⁸

Chaque étape a permis d’appliquer les règles des puissances afin de simplifier les expressions de manière claire et logique.