Exercice 12

Expliquez pourquoi les inéquations suivantes sont vraies pour tout nombre \(x\) :

1. \(x^{2} \geq 0\)
2. \(x + 3 \geq x + 2\)
3. \(-x^{2} \leq 0\)
4. \(x^{2} + 3x^{4} \geq 0\)

Réponse

Toutes les inéquations sont vraies pour tout réel \(x\) grâce aux puissances paires et aux opérations sur les inégalités.

Corrigé détaillé

Corrections détaillées des inéquations

Nous allons expliquer pourquoi chacune des inéquations suivantes est vraie pour tout nombre \(x\).

1. \(x^{2} \geq 0\)

Explication

L’expression \(x^{2}\) représente le carré de \(x\). Quel que soit le nombre réel \(x\), son carré est toujours positif ou égal à zéro.

Raisonnement étape par étape

1. Définition du carré: \[ x^{2} = x \times x \]

2. Multiplication de deux nombres réels:

   • Si \(x\) est positif, alors \(x \times x\) est positif.
   • Si \(x\) est négatif, alors \(x \times x\) est également positif (car le produit de deux nombres négatifs est positif).
   • Si \(x = 0\), alors \(x \times x = 0\).

3. Conclusion: \[ x^{2} \geq 0 \] Ainsi, pour tout nombre réel \(x\), \(x^{2}\) est toujours supérieur ou égal à zéro.

2. \(x + 3 \geq x + 2\)

Explication

Cette inéquation compare deux expressions linéaires qui diffèrent par une constante. Nous allons simplifier l’inéquation pour déterminer sa véracité.

Raisonnement étape par étape

1. Écrire l’inéquation: \[ x + 3 \geq x + 2 \]

2. Soustraire \(x\) des deux côtés: \[ x + 3 - x \geq x + 2 - x \] \[ 3 \geq 2 \]

3. Vérifier la validité: \[ 3 \geq 2 \] Cette affirmation est toujours vraie.

4. Conclusion: L’inéquation \(x + 3 \geq x + 2\) est vraie pour tout nombre réel \(x\), car elle se réduit à \(3 \geq 2\), une vérité absolue.

3. \(-x^{2} \leq 0\)

Explication

Nous examinons le négatif du carré de \(x\). Comme \(x^{2}\) est toujours positif ou nul, son opposé sera toujours négatif ou nul.

Raisonnement étape par étape

1. Considérer \(x^{2}\): \[ x^{2} \geq 0 \]

2. Multiplier par \(-1\): \[ -x^{2} \leq 0 \] (En multipliant une inégalité par un nombre négatif, le sens de l’inégalité s’inverse.)

3. Interprétation: Puisque \(x^{2}\) est toujours \(\geq 0\), son négatif sera toujours \(\leq 0\).

4. Conclusion: L’inéquation \(-x^{2} \leq 0\) est vraie pour tout nombre réel \(x\).

4. \(x^{2} + 3x^{4} \geq 0\)

Explication

Les termes \(x^{2}\) et \(3x^{4}\) sont des puissances paires de \(x\), ce qui signifie qu’ils sont toujours positifs ou nuls. Leur somme l’est également.

Raisonnement étape par étape

1. Analyser chaque terme:

   • \(x^{2} \geq 0\) (comme montré précédemment).
   • \(x^{4} = (x^{2})^{2} \geq 0\), donc \(3x^{4} \geq 0\).

2. Additionner les termes positifs ou nuls: \[ x^{2} + 3x^{4} \geq 0 + 0 = 0 \]

3. Conclusion: La somme de deux expressions qui sont chacune \(\geq 0\) est également \(\geq 0\). Ainsi, \(x^{2} + 3x^{4} \geq 0\) est vrai pour tout nombre réel \(x\).

Résumé

Toutes les inéquations étudiées sont vraies pour tout nombre réel \(x\) grâce aux propriétés des puissances paires et des opérations élémentaires sur les inégalités.