Exercice 11

À quel taux faut-il placer un capital pour qu’il double en 20 ans ?

Réponse

Pour doubler un capital en 20 ans, il faut un taux d’intérêt annuel d’environ 3,53 %.

Corrigé détaillé

Correction détaillée de l’exercice :

Question : À quel taux faut-il placer un capital pour qu’il double en 20 ans ?

Solution :

Pour déterminer le taux d’intérêt nécessaire pour doubler un capital en 20 ans, nous utiliserons la formule des intérêts composés. Cette formule permet de calculer la valeur future d’un investissement en fonction du taux d’intérêt, de la durée et du capital initial.

La formule des intérêts composés est la suivante :

\[ C_f = C_i \times (1 + r)^n \]

Où : - \(C_f\) est le capital final (dans ce cas, le double du capital initial), - \(C_i\) est le capital initial, - \(r\) est le taux d’intérêt annuel (en décimal), - \(n\) est le nombre d’années.

Étape 1 : Établir l’équation

Nous savons que le capital final \(C_f\) doit être le double du capital initial \(C_i\). Donc :

\[ 2 \times C_i = C_i \times (1 + r)^{20} \]

Étape 2 : Simplifier l’équation

Divisons chaque côté de l’équation par \(C_i\) (en supposant que \(C_i \neq 0\)) pour simplifier :

\[ 2 = (1 + r)^{20} \]

Étape 3 : Isoler le terme avec le taux d’intérêt \(r\)

Pour isoler \(r\), nous devons résoudre l’équation exponentielle. Cela peut être fait en utilisant le logarithme naturel. Appliquons le logarithme des deux côtés de l’équation :

\[ \ln(2) = 20 \times \ln(1 + r) \]

Étape 4 : Résoudre pour \(\ln(1 + r)\)

Divisons chaque côté par 20 pour isoler \(\ln(1 + r)\) :

\[ \ln(1 + r) = \frac{\ln(2)}{20} \]

Étape 5 : Exponentier pour éliminer le logarithme

Pour se débarrasser du logarithme, exponentions chaque côté de l’équation :

\[ 1 + r = e^{\frac{\ln(2)}{20}} \]

Étape 6 : Isoler \(r\)

Soustrayons 1 des deux côtés pour obtenir \(r\) :

\[ r = e^{\frac{\ln(2)}{20}} - 1 \]

Étape 7 : Calculer la valeur de \(r\)

Calculons les valeurs numériques étape par étape :

1. Calcul de \(\ln(2)\) :

   \[ \ln(2) \approx 0.6931 \]

2. Division par 20 :

   \[ \frac{0.6931}{20} \approx 0.03466 \]

3. Calcul de l’exponentielle :

   \[ e^{0.03466} \approx 1.0353 \]

4. Calcul final de \(r\) :

   \[ r \approx 1.0353 - 1 = 0.0353 \]

Étape 8 : Convertir en pourcentage

Pour obtenir le taux en pourcentage, multiplions par 100 :

\[ 0.0353 \times 100 = 3.53\% \]

Conclusion :

Le taux d’intérêt annuel nécessaire pour doubler un capital en 20 ans est d’environ 3,53 %.