Un nénuphar dont la surface double chaque jour met 10 jours pour couvrir un étang. Combien de jours seraient nécessaires à deux nénuphars de cette espèce pour couvrir le même étang ?
Réponse courte :
Deux nénuphars mettent 9 jours pour couvrir entièrement l’étang.
Correction de l’exercice :
Un nénuphar dont la surface double chaque jour met 10 jours pour couvrir un étang. Combien de jours seraient nécessaires à deux nénuphars de cette espèce pour couvrir le même étang ?
Étape 1 : Comprendre le problème
Nous savons qu’un seul nénuphar : - Double de surface chaque jour. - Met 10 jours pour couvrir entièrement l’étang.
Nous devons déterminer combien de jours deux nénuphars prendraient pour couvrir le même étang.
Étape 2 : Analyser la croissance d’un seul nénuphar
La surface couverte par le nénuphar double chaque jour. Si on remonte d’un jour depuis le jour où l’étang est entièrement couvert, la veille, l’étang était à moitié couvert.
Par conséquent : - Jour 10 : Étang entièrement couvert. - Jour 9 : Étang à moitié couvert. - Jour 8 : Étang à un quart couvert. - … - Jour 1 : Petite surface initiale couverte.
Étape 3 : Introduire un deuxième nénuphar
Avec deux nénuphars, chacun double sa surface chaque jour. L’important est de comprendre comment ces deux nénuphars interagissent pour couvrir l’étang.
Supposons que : - Les deux nénuphars commencent à croître simultanément. - Leur croissance est indépendante mais additive en termes de surface totale.
Étape 4 : Déterminer le jour de couverture avec deux nénuphars
Si un seul nénuphar couvre l’étang en 10 jours, sa taille le jour précédent (jour 9) était la moitié de l’étang.
Avec deux nénuphars : - Jour 9 : Chacun des deux nénuphars couvre la moitié de ce qu’un seul couvrirait au même jour. - Donc, la surface totale couverte est \(2 \times \frac{1}{2} = 1\) (c’est-à-dire l’étang entièrement couvert).
Calcul : \[ \text{Surface couverte par un nénuphar au jour 9} = \frac{1}{2} \text{ de l'étang} \] \[ \text{Surface couverte par deux nénuphars au jour 9} = 2 \times \frac{1}{2} = 1 \text{ (étang entier)} \]
Conclusion :
Deux nénuphars mettent 9 jours pour couvrir entièrement l’étang.