Exercice 9

Question : Vérifie l’exactitude de ces formules pour \(n=2\), \(n=5\) et \(n=7\).

1. \[ T_{1} = 2 + 4 + 6 + \dots + 2n = n(n+1) \]

2. \[ T_{2} = 3 + 6 + 9 + \dots + 3n = \frac{3n(n+1)}{2} \]

3. \[ T_{3} = 1 + 4 + 9 + \dots + n^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \]

4. \[ T_{4} = 1 + 8 + 27 + \dots + n^{3} = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^{2} \]

Réponse

Pour n = 2, 5 et 7, les sommes directes et les valeurs issues des formules T₁, T₂, T₃ et T₄ coïncident, confirmant que ces formules sont exactes.

Corrigé détaillé

Nous allons vérifier chacune des formules pour n = 2, n = 5 et n = 7 en calculant d’une part la somme réelle et d’autre part la valeur donnée par la formule. Nous détaillons chaque partie.

────────────────────────────── a) Formule : T₁ = 2 + 4 + 6 + … + 2n = n(n + 1)

1. Pour n = 2
   – La somme réelle est : 2 + 4 = 6
   – La formule donne : n(n + 1) = 2 × 3 = 6
   → Les deux résultats sont identiques.

2. Pour n = 5
   – La somme réelle est : 2 + 4 + 6 + 8 + 10
   Calculons : 2 + 4 = 6, 6 + 6 = 12, 12 + 8 = 20, 20 + 10 = 30
   – La formule donne : 5 × 6 = 30
   → La formule est correcte.

3. Pour n = 7
   – La somme réelle est : 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 + 14
   Calculons : 2 + 4 = 6, 6 + 6 = 12, 12 + 8 = 20, 20 + 10 = 30, 30 + 12 = 42, 42 + 14 = 56
   – La formule donne : 7 × 8 = 56
   → La formule est vérifiée.

────────────────────────────── b) Formule : T₂ = 3 + 6 + 9 + … + 3n = [3n(n + 1)]⁄2

1. Pour n = 2
   – La somme réelle : 3 + 6 = 9
   – La formule : (3 × 2 × 3)/2 = (18)/2 = 9
   → Résultat identique.

2. Pour n = 5
   – La somme réelle : 3 + 6 + 9 + 12 + 15
   Calculons : 3 + 6 = 9, 9 + 9 = 18, 18 + 12 = 30, 30 + 15 = 45
   – La formule : (3 × 5 × 6)/2 = (90)/2 = 45
   → La formule fonctionne.

3. Pour n = 7
   – La somme réelle : 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21
   Calculons : 3 + 6 = 9, 9 + 9 = 18, 18 + 12 = 30, 30 + 15 = 45, 45 + 18 = 63, 63 + 21 = 84
   – La formule : (3 × 7 × 8)/2 = (168)/2 = 84
   → La formule est juste.

────────────────────────────── c) Formule : T₃ = 1 + 4 + 9 + … + n² = [n(n + 1)(2n + 1)]⁄6

1. Pour n = 2
   – La somme réelle : 1 + 4 = 5
   – La formule : (2 × 3 × 5)/6 = 30/6 = 5
   → Les résultats coïncident.

2. Pour n = 5
   – La somme réelle : 1 + 4 + 9 + 16 + 25
   Calculons : 1 + 4 = 5, 5 + 9 = 14, 14 + 16 = 30, 30 + 25 = 55
   – La formule : (5 × 6 × 11)/6 = 330/6 = 55
   → La formule est correcte.

3. Pour n = 7
   – La somme réelle : 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49
   Calculs successifs : 1 + 4 = 5, 5 + 9 = 14, 14 + 16 = 30, 30 + 25 = 55, 55 + 36 = 91, 91 + 49 = 140
   – La formule : (7 × 8 × 15)/6 = 840/6 = 140
   → La formule est vérifiée.

────────────────────────────── d) Formule : T₄ = 1 + 8 + 27 + … + n³ = [n(n + 1)/2]²

1. Pour n = 2
   – La somme réelle : 1 + 8 = 9
   – La formule : ((2 × 3)/2)² = (6/2)² = 3² = 9
   → Le résultat est exact.

2. Pour n = 5
   – La somme réelle : 1 + 8 + 27 + 64 + 125
   Calculons : 1 + 8 = 9, 9 + 27 = 36, 36 + 64 = 100, 100 + 125 = 225
   – La formule : ((5 × 6)/2)² = (30/2)² = 15² = 225
   → La formule correspond.

3. Pour n = 7
   – La somme réelle : 1 + 8 + 27 + 64 + 125 + 216 + 343
   Calculs : 1 + 8 = 9, 9 + 27 = 36, 36 + 64 = 100, 100 + 125 = 225, 225 + 216 = 441, 441 + 343 = 784
   – La formule : ((7 × 8)/2)² = (56/2)² = 28² = 784
   → La même valeur est obtenue.

────────────────────────────── Conclusion

Pour chaque formule (a, b, c et d) et pour n = 2, n = 5 et n = 7, le calcul direct et l’application de la formule donnent la même valeur. On conclut donc que les formules sont exactes pour ces valeurs de n.